Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают .Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа, т. е.. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Ее еще называют интегральной функцией распределения.

Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси(рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на этой оси, то функция распределенияесть вероятность того, что случайная точкав результате испытания попадет левее точки.

Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения,, … ,, функция распределения имеет вид

,

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения, которые по своей величине меньше. Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величиныразрывна и возрастает скачками при переходе через точки,, … ,, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения (рис. 7). Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8).

Рис. 7. Рис. 8.

Рассмотрим общие свойства функций распределения.

Свойство 1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что.

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. при .

Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения рана нулю, а на плюс бесконечности функция распределения рана единице, т. е. ,.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением

Найти коэффициент и построить график. Определить вероятность того, что случайная величинав результате опыта примет значение на интервале.

Решение. Так как функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, то приполучим:. Отсюда. График функцииизображен на рис. 9.

Исходя из второго свойства функции распределения, имеем:

.

4. Плотность распределения вероятности и ее свойства.

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения случайной величины.

Плотность распределения равна производной от функции распределения, т. е.

.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величинав некоторой окрестности точкипри повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределенияслучайной величины, называетсякривой распределения .

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от до, т. е.

.

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участокравна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

.

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Определить коэффициент ; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок отдо; определить функцию распределения и построить ее график.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

.

Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим: . Следовательно, плотность распределения может быть выражена так:

График плотности распределения изображен на рис. 10. По свойству 3 имеем

.

Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2:

.

Таким образом, имеем

График функции распределения изображен на рис. 11.

Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL .

Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.

Генеральная совокупность и случайная величина

Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.

Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.

Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.

В нашем примере, ГС - это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.

Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной . По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения , которая обычно обозначается F(x).

Функция распределения

Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X

F(x) = P(X

Поясним на примере нашего станка. Хотя предполагается, что наш станок производит только один тип деталей, но, очевидно, что вес изготовленных деталей будет слегка отличаться друг от друга. Это возможно из-за того, что при изготовлении мог быть использован разный материал, а условия обработки также могли слегка различаться и пр. Пусть самая тяжелая деталь, произведенная станком, весит 200 г, а самая легкая - 190 г. Вероятность того, что случайно выбранная деталь Х будет весить меньше 200 г равна 1. Вероятность того, что будет весить меньше 190 г равна 0. Промежуточные значения определяются формой Функции распределения. Например, если процесс настроен на изготовление деталей весом 195 г, то разумно предположить, что вероятность выбрать деталь легче 195 г равна 0,5.

Типичный график Функции распределения для непрерывной случайной величины приведен на картинке ниже (фиолетовая кривая, см. файл примера ):

В справке MS EXCEL Функцию распределения называют Интегральной функцией распределения (Cumulative Distribution Function , CDF ).

Приведем некоторые свойства Функции распределения:

• Функция распределения F(x) изменяется в интервале , т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
• Функция распределения – неубывающая функция;
• Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона плотность вероятности равна 1/(0,5-0)=2. А для с параметром лямбда =5, значение плотности вероятности в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.

  Напомним, что плотность распределения является производной от функции распределения , т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения >1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере ).

  Примечание : Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения , равна 1.

  Примечание : Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения . Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная ). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения, то параметр интегральная , д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности , то параметр интегральная , д.б. ЛОЖЬ.

  Примечание : Для дискретного распределения вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности может называть даже "функция вероятностной меры" (см. функцию БИНОМ.РАСП() ).

  Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

  Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.

  Найдем плотность вероятности для N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ) =0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ) .

  Напомним, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).

  Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

  1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

  НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5.
  Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).

  2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по , приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения, вероятность равна F(0)=0,5.

  В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =0,5.

  3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению , примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) - НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) .

  Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье функции распределения найти точку, для которой F(х)=0,5, а затем найти абсциссу этой точки. Абсцисса точки =0, т.е. вероятность, того что случайная величина Х примет значение <0, равна 0,5.

  В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.ОБР(0,5) =0.

  

  Однозначно вычислить значение случайной величины позволяет свойство монотонности функции распределения.

  Обратная функция распределения вычисляет , которые используются, например, при . Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения . В файле примера можно вычислить и другой квантиль этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84.

  

  В англоязычной литературе обратная функция распределения часто называется как Percent Point Function (PPF).

  Примечание : При вычислении квантилей в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье .

  
  

  Плотностью распределения вероятностей Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x) :

  Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима.

  Плотность распределения вероятностей f(x) – называют дифференциальной функцией распределения:

  

  Свойство 1. Плотность распределения - величина неотрицательная:

  Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

  Пример 1.25. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

  

  f(x) .

  Решение: Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

  

  1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

  

  Найти плотность распределения.

  2. Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

  

  Найти плотность распределения f(x).

  1.3. Числовые характеристики непрерывной случайной

  величины

  Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох , определяется равенством:

  

  Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

  a,b ), то:

  

  f(x) – плотность распределения случайной величины.

  Дисперсия непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат всей оси, определяется равенством:

  

  Частный случай. Если значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b ), то:

  

  Вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (a,b ), определяется равенством:

  .

  Пример 1.26. Непрерывная случайная величина Х

  

  Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадание случайной величины Х в интервале (0;0,7).

  Решение: Случайная величина распределена на интервале (0,1). Определим плотность распределения непрерывной случайной величины Х :

  

  а) Математическое ожидание :

  

  б) Дисперсия

  

  

  в)

  

  Задания для самостоятельной работы:

  1. Случайная величина Х задана функцией распределения:

  

  M(x) ;

  б) дисперсию D(x) ;

  Х в интервал (2,3).

  2. Случайная величина Х

  

  Найти: а) математическое ожидание M(x) ;

  б) дисперсию D(x) ;

  в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1;1,5).

  3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:

  

  Найти: а) математическое ожидание M(x) ;

  б) дисперсию D(x) ;

  в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

  1.4. Законы распределения непрерывной случайной величины

  1.4.1. Равномерное распределение

  Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b ], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е.:

  

  

  

  

  Рис. 4.

  ; ; .

  

  Пример 1.27. Автобус некоторого маршрута движется равномерно с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина Х – время ожидания автобуса составит менее 3 минут.

  Решение: Случайная величина Х – равномерно распределена на интервале .

  Плотность вероятности: .

  Для того чтобы время ожидания не превысило 3 минут, пассажир должен появиться на остановке в интервале от 2 до 5 минут после ухода предыдущего автобуса, т.е. случайная величина Х должна попасть в интервал (2;5). Т.о. искомая вероятность:

  

  Задания для самостоятельной работы:

  1. а) найти математическое ожидание случайной величины Х распределенной равномерно в интервале (2;8);

  б) найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2;8).

  2. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждом минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.

  1.4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение

  Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

  

  где – параметр показательного распределения.

  

  Таким образом

  

  Рис. 5.

  Числовые характеристики:

  Пример 1.28. Случайная величина Х – время работы электролампочки - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампочки будет не меньше 600 часов, если среднее время работы - 400 часов.

  Решение: По условию задачи математическое ожидание случайной величины Х равно 400 часам, следовательно:

  ;

  Искомая вероятность , где

  Окончательно:

  
  

  Задания для самостоятельной работы:

  1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

  2. Случайная величина Х

  

  Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х .

  3. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:

  

  Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

  1.4.3. Нормальное распределение

  Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , плотность которого имеет вид:

  

  где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х .

  Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :

  , где

  – функция Лапласа.

  Распределение, у которого ; , т.е. с плотностью вероятности называется стандартным.

  

  Рис. 6.

  Вероятность того, что абсолютная величина отклонена меньше положительного числа :

  .

  В частности, при а= 0 справедливо равенство:

  

  Пример 1.29. Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение . Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

  Решение: .

  
  

  Задания для самостоятельной работы:

  1. Написать плотность вероятности нормального распределения случайной величины Х , зная, что M(x)= 3, D(x)= 16.

  

  2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15;20).

  3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием а= 0. Найти вероятность того, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

  4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

• 6. Сумма событий и ее свойства. Примеры.
• 7. Теорема сложения вероятностей (с доказательством) и ее следствия. Примеры. 8 Произведение событий и его свойства.
• 9. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры
• 11. Случайная величина (определение). Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Основное свойство закона распределения. Примеры.
• Определение независимости случайных величин.
• 13.* Математические операции над дискретными случайными величинами. Примеры.
• 14. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график. Примеры.
• 15. Функция распределения дискретной случайной величины. Примеры.
• 16. Теорема о существовании случайной величины с заданной функцией распределения. Непрерывная случайная величина. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Примеры.
• 18. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры
• Свойства математического ожидания
• Доказательство:
• 19. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение случайной величины. Примеры.
• 1. Дискретная случайная величина, закон и функция распределения
• 2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
• 20. Закон распределения Бернулли, его определение, свойства и примеры.
• 21. Биномиальный закон распределения, его определение, свойства и примеры.
• 22.Закон распределения Пуассона, его определение, свойства и примеры.
• 25. Нормальный (гауссовский) закон распределения.
• 26. Стандартный нормальный закон распределения. Функция Гаусса, ее свойства и график. Теорема о связи плотности нормального закона распределения и функции Гаусса.
• 27. Функция Лапласа, ее свойства, график и геометрический смысл. Теорема о связи функции распределения нормального закона и функции Лапласа. Примеры.
• 28.* Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону. Правило трех сигм. Примеры.
• 29.* Показательный (экспоненциальный) закон распределения, его определение, свойства и примеры.
• 34. Лемма Чебышева. Примеры
• 35. Неравенство Чебышева. Примеры
• 36. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения.
• 37. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин

14. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график. Примеры.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

			x i
			p i

называется .

Свойства функции распределения.

Доказательство: Это утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность, а как известно,.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

Доказательство: Пусть х 1 (3)

Так как Р(x 1 Х

4 . Р(х 1 Х(4)

Доказательство: это непосредственно следует из формулы (3).

Пример: Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале , то

F (x ) = 0, при x £ a ; F (x ) = 1, при x > b .

Функция распределения дискретных случайных величин может быть определена по формуле

Если известен ряд распределения дискретной случайной величины, легко вычислить и построить ее функцию распределения. Продемонстрируем, как это делается на примере 23.

Пример 25. Вычислить и построить функцию распределения для дискретной случайной величины, закон распределения которой, имеет вид:

x i	0,1	1,2	2,3	4,5
p i	0,1	0,2	0,6	0,1

Решение . Определим значения функции F (x ) = P (X < x ) для всех возможных значений x :

при x Î (- ¥; 0,1] нет ни одного значения случайной величины X , меньшего данных значений x , то есть нет ни одного слагаемого в сумме (15):

F (x ) = 0;

при x Î (0,1; 1,2] только одно возможное значение (X = 0,1) меньше рассматриваемых значений x . То есть при x Î (0,1; 1,2] F (x ) = P (X = 0,1) = 0,1;

при x Î (1,2; 2,3] два значения (X = 0,1 и X = 1,2) меньше данных значений x , следовательно, F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

при x Î (2,3; 4,5] три значения (X = 0,1, X = 1,2 и X = 2,3) меньше данных значений x , следовательно, F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) + P (X = 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ;

при x Î (4,5, ¥) все возможные значения случайной величины X будут меньше данных значений x , и F (x ) = P (X = 0,1) + P (X = 1,2) + P (X = 2,3) +

+ P (X = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1.

Таким образом ,

График функции F (x ) изображен на рисунке 8.

В общем случае, функция распределения F (x ) дискретной случайной величины X есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям х 1 , х 2 , … случайной величины X и равны вероятностям p 1 , p 2 , … этих значений.




Функция распределения непрерывных случайных величин . Теперь можно дать более точное определение непрерывных случайных величин: случайная величина X называется непрерывной , если ее функция распределения F (x ) при всех значениях x непрерывна и, кроме того, имеет производную всюду, за исключением, может быть, отдельных точек.

Из непрерывности функции F (x ) следует, что вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю .

Так как вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0, свойство 3 функции распределения для непрерывной случайной величины будет иметь вид

P (a £ X < b ) = P (a £ X £ b ) = P (a < X £ b ) = P (a < X < b ) = F (b ) - F (a ).

Пример 26. Вероятности поражения цели для каждого из двух стрелков соответственно равны: 0,7; 0,6. Случайная величина X - число промахов, при условии, что каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Составить ряд распределения случайной величины X , построить столбцовую диаграмму и функцию распределения.

Решение. Возможные значения данной случайной величины X : 0, 1, 2. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 2 независимых испытаний. В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины X можно воспользоваться теоремами сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий:

Обозначим события:

A i = {i -й стрелок поразил мишень}, i = 1, 2.

Согласно условию, вероятность события A 1 P (A 1) = 0,7, вероятность события A 2 - P (A 2) = 0,6 . Тогда вероятности противоположных событий: , .

Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:

Элементарные события	События	Вероятности
Итого

(Проверим, что ).

Ряд распределения данной случайной величины X имеет вид

x i				Итого
p i	0,42	0,46	0,12

Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 9.

Вычислим функцию распределения данной случайной величины:

при x Î (- ¥, 0] ;

при x Î (0, 1] ;

при x Î (1, 2] ;

при x Î (2, +¥);

Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:

График функции F (x ) приведён на рисунке 10.

Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке:

f (x ) = F ¢(x ).

По своему смыслу значения функции f (x ) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x .

Функция плотности распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. Функцию плотности распределения вероятностей f (x ) еще называют дифференциальной функцией распределения , тогда как функцию распределения F (x ) называют, соответственно, интегральной функцией распределения .

График функции плотности распределения f (x ) называется кривой распределения .

Рассмотрим свойства, которыми обладает функция плотности распределения непрерывной случайной величины.

Свойство 1. Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция:

f (x ) ³ 0

(геометрически: кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс).

Свойство 2. Вероятность попадания значения случайной величины на участок от a до b определяется по формуле

(геометрически: эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f (x ), осью Ох и прямыми x = a и x = b).

Свойство 3.

(геометрически : площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице).

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a , b ], то

Свойство 4. Функция распределения F (x ) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом:

Пример 27. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

Определить дифференциальную функцию плотности распределения.

Решение . Определим дифференциальную функцию плотности распределения

Пример 28. Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций?

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется случайной величиной?

2. Какие величины называются дискретными? непрерывными?

3. Что называется законом распределения случайной величины?

4. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случай-ной величины? непрерывной?

5. Что характеризует функция распределения F(x) случайной величины?

6. Как определить вероятность попадания значения случайной величины в некоторый интервал с помощью функции распределения?

7. Что характеризует функция плотности распределения случайной величины? Укажите ее вероятностный смысл.

8. Для каких величин определена функция плотности распределения?

9. Может ли функция плотности распределения принимать отрицательные зна-чения?

10. Как связаны между собой функции F(x) и f (x )?

11. Какие случайные величины называются непрерывными?

12. Чему равна площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс?

13. Как определить вероятность попадания значения непрерывной случайной ве-личины в некоторый интервал с помощью функции плотности распределения?