Конспект урока по теме решение тригонометрических неравенств. План-конспект урока на тему «Решение тригонометрических неравенств методом интервалов. Вступительное слово учителя

23.02.2024

Тема урока :

Задачи урока :

Тип урока : комбинированный.

Ход урока

1.Организационная часть

2.Проверка знаний:

3.Повторение.

4.Новая тема .

Решение простейших тригонометрических неравенств sin x < 0, sin x > 0

sin x ≤ 0, sin x ≥ 0

Учащимся предлагается воспользоваться карточкой № 1 (формат А-4) со следующим содержанием.

Карточка № 1.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств.

На оси ординат единичной окружности отмечаем точку, соответствующую значению а (примерно).

Через полученную точку проводим прямую параллельно другой оси системы координат до пересечения с окружностью (Точки пересечения можно соединить с центром окружности).

На единичной окружности в точках пересечения записываем числа, соответствующие этим точкам.

Мысленно перемещаем нашу прямую параллельно оси координат в зависимости от значения а.

Выделяем штриховкой ту часть дуги единичной окружности, которую перемещающая прямая ее пересекает. Если неравенство строгое, то точки на концах дуги не заштриховываются (выколотые точки).

Записываем ответ.

Решение неравенства sinx>

Далее по алгоритму учитель на доске, а учащиеся на карточке проводят последовательные операции на единичных окружностях (рис. 1, а, б, в), рассматривая решение неравенства sin x >

Рис. 1

Записывается ответ:

Решение неравенства соsx>

Решение неравенства проводится одним из учащихся на доске. Учащиеся на карточке при максимальной самостоятельности, используя рисунок, записывают решение данного неравенства (Рис. 2, а ). При необходимости учитель оказывает помощь учащемуся у доски и учащимся класса. Закрепляется алгоритм решения неравенства.

Рис. 2

Ответ:

5. Закрепление.

Учащимся предлагается самостоятельно решить неравенство (Рис. 6, б )

Ответ:

6. Домашнее задание п.8.1, материал карточек.

7. Контроль и оценка работы. Итоги урока.

Повторить алгоритм решения тригонометрических неравенств на каком либо примере учебника § 8 п.8.1 (А.Н.Шыныбеков. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 класса общеобразовательной школы. Алматы «Атамура» 2012).

Учитель математики Лоренц Ольга Васильевна _________________________

Тема урока : Решение простейших тригонометрических неравенств.

Задачи урока : а)организовать работу по изучению способов решения тригонометрических неравенсв;

способствовать формированию умений и навыков решения простейших тригонометрических неравенств;

б)создать условия для развития памяти, внимания, техники счета, интуиции, речи, любознательности, самостоятельности логического мышления;

в)способствовать воспитанию тактичности, уважения к одноклассникам, силы воли, ответственного отношения к учебе, самодисциплины упорства.

Тип урока : комбинированный.

Ход урока

1.Организационная часть : деление учащихся класса на группы, распределение ролей в группах.

2.Проверка знаний:

Д/З устно: фронтальная проверка, объяснение решения заданий, вызвавших затруднения.

3.Повторение.

Для какой функции существует функция обратная? Приведите пример функции, для которой существует обратная функция на всей области определения, не существует обратной функции на всей области определения.

Какая существует зависимость между областью определения и областью значений прямой и обратной функций?

Как располагаются в прямоугольной системе координат графики прямой и обратной функций?

Можно ли говорить о том, что тригонометрические функции на всей области определения имеют обратные функции? Обоснуйте свой ответ.

4.Новая тема.

Учащиеся – лидеры групп подготавливают дома презентации по теме: «Решение простейших тригонометрических неравенств». Во время объяснения эти ученики объясняют новую тему с помощью своих птезентаций.

5.Закрепление. Самостоятельная работа в группах.

Cos X <-

( + 2 k; + 2 k), k

Sin X ≥

[ + 2 k, + 2 k], k

Sin X < -

(- ;- + 2 k) , k

Sin X < -

(- ;- + 2 k) , k

Sin X ≥

X + 2 n, + 2 k], n

ТЕМА УРОКА: Решение простейших тригонометрических неравенств

Цель урока: показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

Задачи урока :

Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы; создать условия контроля усвоения знаний и умений;

Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Знания и навыки учащихся:
- знать алгоритм решения тригонометрических неравенств;

Уметь решать простейшие тригонометрические неравенства.

Оборудование: интерактивная доска, презентация к уроку, карточки с заданиями самостоятельной работы.

ХОД УРОКА:
1. Организационный момент (1 мин)

Девизом урока предлагаю слова Сухомлинского: « Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса».

2. Разминка. Диктант «Верно - неверно»

3. Повторение

Для каждого варианта - задания на слайде, продолжите каждую запись. Время выполнения 3 мин.

Давайте выполним взаимопроверку этой нашей работы, используя таблицу ответов на доске.

Критерий оценки: «5» - все 9 «+», «4» - 8 «+», «3» - 6-7 «+»

4. Актуализация знаний учащихся (8 мин)
Сегодня на уроке мы должны усвоить понятие тригонометрического неравенства и овладеть навыками решения таких неравенств.
– Давайте вначале вспомним, что такое единичная окружность, радианная мера угла и как связан угол поворота точки на единичной окружности с радианной мерой угла. (работа с презентацией)

Единичная окружность - это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

Угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA, называется углом поворота. Важно запомнить, где находятся углы 0; 90; 180; 270; 360.

Если A перемещается против часовой стрелки, получаются положительные углы.

Если A перемещается по часовой стрелке, получаются отрицательные углы.

сos t – это абсцисса точки единичной окружности, sin t – ордината точки единичной окружности, t – угол поворота с координатами (1;0).
5 . Объяснение нового материала (17 мин )
Сегодня мы познакомимся с простейшими тригонометрическими неравенствами.
Определение.
Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида:

Как решить такие неравенств нам расскажут ребята (представление проектов учащимися с примерами). Определения и примеры учащиеся записывают в тетради.

В ходе выступления учащиеся объясняют решение неравенства, учитель дополняет рисунки на доске.
Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств дается после выступления учащихся. Все этапы решения неравенства учащиеся видят на экране. Это способствует зрительному запоминанию алгоритма решения данной задачи.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности:
1. На оси, соответствующей заданной тригонометрической функции, отметить данное числовое значение этой функции.
2. Провести через отмеченную точку прямую, пересекающую единичную окружность.
3. Выделить точки пересечения прямой и окружности с учетом строгого или нестрогого знака неравенства.
4. Выделить дугу окружности, на которой расположены решения неравенства.
5. Определить значения углов в начальной и конечной точках дуги окружности.
6. Записать решение неравенства с учетом периодичности заданной тригонометрической функции.
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.
6. Практическая часть (12 мин)
Для отработки и закрепления теоретических знаний выполним небольшие задания. Каждый учащийся получает карточки с заданиями. Решив неравенства, нужно выбрать ответ и записать его номер.

7. Рефлексия деятельности на уроке
- Какая цель стояла перед нами?
- Назовите тему урока
- Получилось воспользоваться известным алгоритмом
- Проанализируйте свою работу на уроке.

8. Домашнее задание (2 мин)

Решите неравенство:

9. Итог урока (2 мин)

Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.

Дисциплина: Математика
Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»
Три пути ведут к знанию: путь размышления
- это путь самый благородный, путь подражания
- это путь самый лёгкий и путь опыта – это путь
самый горький.
Конфуций
Номер занятия в теме: 1
Цель: научить обучающихся решать тригонометрические неравенства; закрепить данную тему в ходе решения заданий.
Задачи урока:
Обучающие: обогатить опыт обучающихся в получении новых знаний; формирование умения комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия; проверка знаний, умений и навыков обучающихся по данной теме.
Развивающие: содействие развитию мыслительных операций: анализ, обобщение; формированию умений самооценки и взаимооценки.
Воспитательные: содействие формированию творческой деятельности обучающихся.
Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.
Форма проведения: беседа, групповая работа обучающихся.
Метод обучения: объяснительно- иллюстрированный, репродуктивный, частично – поисковый.
Форма организации обучения: фронтальная, групповая письменная.
Оборудование:
Мультимедийный проектор.
Презентация с целеполаганием и заданиями.
Карточки с заданиями.
Карточки для проведения рефлексии, оценочные листы.
Карточки с разноуровневым домашним заданием.
Кружки с цифрами.
Формирование общих компетенций: ОК3.2, ОК3.3, ОК6.1, ОК6.3, ОК6.4.
План урока
1.Организационный момент. (2 мин.)
2.Целеполагание. (3 мин.)
3.Актуализация знаний и умений. (5 мин.)
4.Изучение нового материала (6 мин.)
5.Закрепление изученного материала. (20 мин.)
6.Разноуровневая работа в группах. (15 мин.)
7. «Защита» обучающимися выполненных работ. (10 мин.)
8.Подведение итогов урока, рефлексия. (6 мин.)
9.Домашнее задание. (3 мин.)
Технологическая карта урока
Этап урока Время Цель этапа Действия преподавателя Действия обучающихсяОжидаемый результат Оценка
эффект.
урока
1.Организационный
момент 2 мин. Цель для обучающихся:
-настроиться на работу;
-установить эмоциональныйдоверительный контакт педагогом-друг с другом
Цели для преподавателя:
-создать благоприятную психологическую атмосферу на уроке;
-включить всех обучающихся в работу.
Приветствую, создаю эмоциональныйнастрой на работу.
Ребята, доброе утро, я пришла к вам на урок вот с таким настроением
(показываю изображение солнца).
А какое у вас настроение? У вас на столе
лежат карточки с изображением солнца и тучи.
Покажите, какое у вас настроение. Обучающиеся сидят
за партами, настраиваются на работу,на взаимодействия.
Показывают карточку со своим
настроением. Обучающиеся настроены на учебную деятельность. 5
2.Целеполагание 3 мин. Цель для обучающихся:
-развивать мыслительную деятельность;
-формулировать цель урока
Цель для преподавателя:
-организация работы по целеполаганиюСообщаю тему урока, предлагаю обучающимся определить цели урока и
самостоятельно выбрать из предложенных трёх групп цели, которые они ставят для себя на данном уроке (использую мультимедийное оборудование)Выбирают цель, поднимают кружок с определённой цифрой: 1 группа-с цифрой 1; 2 группа- с цифрой 2; 3 группа- с цифрой 3 Каждый обучающийся выбрал свою цель урока. 4
3.Актуализация знаний и
умений 5 мин. Цель для обучающихся:
-определения что такое единичная окружность, линии синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
Цель для преподавателя:
-актуализировать знания обучающихся. Организую работу.
Задаю вопрос: «Теперь вспомним понятия изученные ранее:
1. Дайте определение единичной окружности.
2. Дайте определение линии синуса;
3. Дайте определение линии косинуса;
4. Дайте определение линии тангенса;
5. Дайте определение линии котангенса;
Показываю на мультимедийном проекторе единичную окружность. Обучающиеся отвечают поставленные вопросы.
1) Единичной окружностью называется окружность с радиусом единица.
2) Отрезок [-1; 1]оси ординат- называют линией синуса;
3) Ось абсцисс называют линией косинуса;
4) Касательную к единичной окружности в точке (1;0) называют линией тангенса;
5) Касательную к единичной окружности в точке (1;0) называют линией котангенса.
Обучающиеся
успешно отвечают на поставленные вопросы. 5
4.Изучение нового материала 6 мин. Цель для обучающихся:
-запомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств.
Цель для преподавателя:
-показать алгоритм решения тригонометрических неравенств. На прошлом уроке мы решали простейшие тригонометрические уравнения, сегодня узнаем, как с помощью единичной окружности решить простейшее тригонометрическое неравенство. Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств видаsin x ≤ a, cos x >a, tg x ≥a, ctg x Решение тригонометрических неравенств рассмотрим на конкретных примерах с помощью единичной окружности:
sin x ≤
Алгоритм решение данного неравенства:
Для начала определим
На Оу отмечаем значение и соответствующие точки на окружности;
Выделяем нижнюю часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки).
Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение.
Записываем ответ:
Слушают преподавателя, записывают алгоритм решения тригонометрических неравенств в тетрадь. Обучающиеся успешно работают в тетрадях. 4
5.Закрепление изученного материала 20 мин. Цель для обучающихся:
-научиться решать тригонометрические неравенства.
Цель для преподавателя:
-научить обучающихся решать тригонометрические неравенства. Аналогично по алгоритму, преподаватель и обучающиеся решают следующие примеры:
Cos x ≥;
Sin x

На практическом занятии мы повторим основные типы заданий из темы «Тригонометрия» , дополнительно разберем задачи повышенной сложности и рассмотрим примеры решения различных тригонометрических неравенств и их систем .

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов заданий В5, В7, С1 и С3 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 11. Закрепление пройденного материала. Тригонометрические неравенства. Решение различных задач повышенной сложности

Практика

Конспект урока

Повторение тригонометрии

Начнем с повторения основных типов заданий, которые мы рассмотрели в теме «Тригонометрия» и решим несколько нестандартных задач.

Задача №1 . Выполнить перевод углов в радианы и градусы: а) ; б) .

а) Воспользуемся формулой перевода градусов в радианы

Подставим в нее указанное значение .

б) Применим формулу перевода радиан в градусы

Выполним подстановку .

Ответ. а) ; б) .

Задача №2 . Вычислить: а) ; б) .

а) Поскольку угол далеко выходит за рамки табличного, уменьшим его с помощью вычитания периода синуса. Т. к. угол указан в радианах, то и период будем рассматривать как .

б) В данном случае ситуация аналогичная. Поскольку угол указан в градусах, то и период тангенса будем рассматривать как .

Полученный угол хоть и меньше периода, но больше , а это значит, что он относится уже не к основной, а к расширенной части таблицы. Чтобы не тренировать лишний раз свою память запоминанием расширенной таблицы значений тригофункций, вычтем период тангенса еще раз:

Воспользовались нечетностью функции тангенс.

Ответ. а) 1; б) .

Задача №3 . Вычислить , если .

Приведем все выражение к тангенсам, разделив числитель и знаменатель дроби на . При этом, можем не бояться, что , т. к. в таком случае значения тангенса не существовало бы.

Задача №4 . Упростить выражение .

Указанные выражения преобразовываются с помощью формул приведения. Просто они непривычно записаны с использованием градусов. Первое выражение вообще представляет собой число. Упростим все тригофункции по очереди:

Т. к. , то функция меняется на кофункцию, т. е. на котангенс, и угол попадает во вторую четверть, в которой у исходного тангенса знак отрицательный.

По тем же причинам, что и предыдущем выражении, функция меняется на кофункцию, т. е. на котангенс, а угол попадает в первую четверть, в которой у исходного тангенса знак положительный.

Подставим все в упрощаемое выражение:

Задача №5 . Упростить выражение .

Распишем тангенс двойного угла по соответствующей формуле и упростим выражение:

Последнее тождество является одной из формул универсальной замены для косинуса.

Задача №6 . Вычислить .

Главное, это не сделать стандартной ошибки и не дать ответ, что выражение равно . Воспользоваться основным свойством арктангенса нельзя пока возле него присутствует множитель в виде двойки. Чтобы от него избавиться распишем выражение по формуле тангенса двойного угла , при этом относимся к , как к обыкновенному аргументу.

Теперь уже можно применять основное свойство арктангенса, вспомним, что на его численный результат ограничений нет.

Задача №7 . Решить уравнение .

При решении дробного уравнения, которое приравнивается к нулю, всегда указывается, что числитель равен нулю, а знаменатель нет, т. к. на ноль делить нельзя.

Первое уравнение представляет собой частный случай простейшего уравнения, которое решается с помощью тригонометрической окружности. Вспомните самостоятельно этот способ решения. Второе неравенство решается как простейшее уравнение по общей формуле корней тангенса, но только с записью знака неравно.

Как видим, одно семейство корней исключает другое точно такое же по виду семейство не удовлетворяющих уравнению корней. Т. е. корней нет.

Ответ. Корней нет.

Задача №8 . Решить уравнение .

Сразу заметим, что можно вынести общий множитель и проделаем это:

Уравнение свелось к одной из стандартных форм, когда произведение нескольких множителей равно нулю. Мы уже знаем, что в таком случае или один из них равен нулю или другой, или третий. Запишем это в виде совокупности уравнений:

Первые два уравнения являются частными случаями простейших, с подобными уравнениями мы уже многократно встречались, поэтому сразу укажем их решения. Третье уравнение приведем к одной функции с помощью формулы синуса двойного угла.

Решим отдельно последнее уравнение:

Данное уравнение не имеет корней, т. к. значение синуса не могут выходить за пределы .

Таким образом, решением является только два первых семейства корней, их можно объединить в одно, что легко показать на тригонометрической окружности:

Это семейство всех половин , т. е.

Тригонометрические неравенства

Перейдем к решению тригонометрических неравенств. Сначала разберем подход к решению примера без использования формул общих решений, а с помощью тригонометрической окружности.

Задача №9 . Решить неравенство .

Изобразим на тригонометрической окружности вспомогательную линию, соответствующую значению синуса равному , и покажем промежуток углов, удовлетворяющих неравенству.

Очень важно понять, как именно указывать полученный промежуток углов, т. е. что является его началом, а что концом. Началом промежутка будет угол, соответствующей точке, в которую мы войдем в самом начале промежутка, если будем двигаться против часовой стрелки. В нашем случае это точка, которая находится слева, т. к. двигаясь против часовой стрелки и проходя правую точку, мы наоборот выходим из необходимого промежутка углов. Правая точка будет, следовательно, соответствовать концу промежутка.

Теперь необходимо понять значения углов начала и конца нашего промежутка решений неравенства. Типичная ошибка - это указать сразу, что правой точке соответствует угол , левой и дать ответ . Это неверно! Обратите внимание, что мы только что указали промежуток, соответствующий верхней части окружности, хотя нас интересует нижняя, иными словами, мы перепутали начало и конец необходимого нам интервала решений.

Чтобы интервал начинался с угла правой точки, а заканчивался углом левой точки, необходимо, чтобы первый указанный угол был меньше второго. Для этого угол правой точки нам придется отмерять в отрицательном направлении отсчета, т. е. по часовой стрелке и он будет равен . Тогда, начиная движение с него в положительном направлении по часовой стрелке, мы попадем в правую точку уже после левой точки и получим для нее значение угла . Теперь начало промежутка углов меньше конца , и мы можем записать промежуток решений без учета периода:

Учитывая, что такие промежутки будут повторяться бесконечное количество раз после любого целого количества поворотов, получим общее решение с учетом периода синуса :

Круглые скобки ставим из-за того, что неравенство строгое, и точки на окружности, которые соответствуют концам промежутка, мы выкалываем.

Сравните полученный ответ с формулой общего решения, которую мы приводили на лекции.

Ответ..

Указанный способ хорош для понимания того, откуда берутся формулы общих решений простейших тригонеравенств. Кроме того, он полезен для тех, кому лень учить все эти громоздкие формулы. Однако сам по себе способ тоже непростой, выберете, какой подход к решению вам наиболее удобен.

Для решения тригонометрических неравенств можно использовать и графики функций, на которых строится вспомогательная линия аналогично показанному способу с использованием единичной окружности. Если вам интересно, попробуйте самостоятельно разобраться с таким подходом к решению. В дальнейшем будем использовать общие формулы для решения простейших тригонометрических неравенств.

Задача №10 . Решить неравенство .

Воспользуемся формулой общего решения с учетом того, что неравенство нестрогое:

Получаем в нашем случае:

Ответ.

Задача №11 . Решить неравенство .

Воспользуемся формулой общего решения для соответствующего строго неравенства:

Ответ..

Задача №12 . Решить неравенства: а) ; б) .

В указанных неравенствах не надо спешить использовать формулы общих решений или тригонометрическую окружность, достаточно просто вспомнить об области значений синуса и косинуса.

а) Поскольку , то неравенство не имеет смысла. Следовательно, решений нет.

б) Т. к. аналогично , то синус от любого аргумента всегда удовлетворяет указанному в условии неравенству . Следовательно неравенству удовлетворяют все действительные значения аргумента .

Ответ. а) решений нет; б) .

Задача 13 . Решить неравенство .

Это простейшее неравенство со сложным аргументом решается аналогично подобному уравнению. Сначала находим решение для всего указанного в скобках аргумента целиком, а потом преобразовываем его к виду «», работая с обоими концами промежутка, как с правой частью уравнения.

Тема урока: Решение тригонометрических неравенств

Урок проведён в 11«а» классе школы №4 им. Горького г.Брянска (2007 г.).

Класс работает по учебнику

https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">

Учитель : учитель высшей категории, заслуженный учитель РФ Нина Владимировна Кусачёва.

Цели урока :

1) Выявить приемы сведения тригонометрических неравенств к простейшим: рассмотрение сложного аргумента как простого; использование равносильных преобразований; применение тригонометрических формул.

2) Выявить способы решения тригонометрических неравенств: сведение к простейшему; введение новой переменной.

3) Научиться распознавать способы решения тригонометрических неравенств.

4) Научиться записывать ответ, если не используются табличные значения тригонометрических функций.

5) Совершенствовать умение решать тригонометрические неравенства.

6) Проверить умение решать простейшие тригонометрические неравенства.

Тип урока : урок совершенствования умений.

План урока :

1. Выявление приемов и способов решения тригонометрических неравенств, затруднений в выполнении домашнего задания через анализ решений наиболее сложных неравенств.

2. Совершенствование умения решать тригонометрические неравенства:

а) распознавание способов решения и повторение алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств;

б) работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные значения;

в) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием равносильных преобразований через сравнение неравенств;

г) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием формул приведения;

д) совершенствование умения решать тригонометрические неравенства за счет использования нескольких способов решения.

3. Самостоятельная работа по решению тригонометрических неравенств.

4. Постановка домашнего задания.

Ход урока :

Учитель: (На доске записаны решения неравенств № 7, 8, 10 из домашней карточки).

Посмотрите на решение неравенства № 7. Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения?

№7 sin x ≤ - cos x ;

sin x + cos x ≤0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src=">sin x + cos x ) ≤ 0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;

sin (x + ) ≤ 0;

x + Î [ - π +2πn , 2πn ], n Î Z

x Î [ -5π/4 + 2πn ,- π/4+ 2πn ], n Î Z

Ответ: x Î [ -5π/4 +2πn ,- π/4+ 2πn ], n Î Z

Учитель: Тогда у меня есть несколько вопросов. Как была получена 3-я строка?

Учащиеся: Мы умножили и разделили каждое слагаемое на .

Учитель: Можно ли выполнять такое преобразование неравенства?

Учащиеся: Да, это преобразование является равносильным.

Учитель: С какой целью мы так поступали?

Учащиеся: Чтобы можно было применить тригонометрическую формулу сложения – синус суммы двух углов.

Учитель: Как иначе называется такой прием?

Учащиеся: Прием введения вспомогательного угла.

Учитель: Как догадались, что надо умножить и разделить каждое слагаемое именно на ?

Учащиеся: – это корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов в преобразуемом неравенстве.

Учитель: Назовите неравенство, которое можно считать простейшим и аргументируйте свой ответ.

Учащиеся: Неравенство sin (x + ) ≤ 0 можно считать простейшим, если рассматривать сложный аргумент (x + ) как простой, например, t .

Учитель: Итак, основной идеей решения неравенства № 7 является сведение к простейшему тригонометрическому неравенству. Давайте повторим, какие приёмы при этом использовали?

Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла);

(Учитель помогает учащимся, указывая на ту или иную строчку решения).

Учитель: Посмотрите на решение неравенства № 8.

№ 8 sin 2x + https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2cos 2x ) ≥ 1;

2 sin (2x + π/3) ≥ 1;

sin (2x + π/3) ≥ 1/2;

2x + π/3 Î [π/6 + 2πn , 5π/6 + 2πn ], n Î Z;

x Î [-π/12 + πn , π/4 + πn ], n Î Z;

Ответ: x Î [-π/12 + πn , π/4 + πn ], n Î Z.

Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения? (пауза) Какие приёмы использовали при решении этого неравенства?

Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла, деление обеих частей неравенства на положительное число);

2) применение тригонометрической формулы,

3) рассматривали сложный аргумент как простой.

Учитель: Рассмотрите решение неравенства №10:

№10 cos 2 x – 2cos x >0;

Пусть cos x = t;

t 2 – 2t >0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;

2. cos (3π/2 + x ) < -/2;

3. cos (π + 2x ) – 1 ≥ 0;

4. sin x > 2/3;

5. 5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4sin 2 3x < 3.

Учитель: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?

Учащиеся: 1, 3, 5.

Учитель: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как простой?

Учащиеся: 1, 2, 3, 5, 6.

Учитель: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?

Учащиеся: 2, 3, 6.

Учитель: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой переменной?

Учащиеся: 6.

Учитель: Сейчас мы начнём решать неравенства с простейшего и научимся записывать ответ, если не используются табличные значения. Но вначале ответьте, верно ли, что простейшие тригонометрические неравенства можно решать по алгоритму, записанному на доске:

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

1. Устно заменяем неравенство уравнением. Чертим единичную окружность и отмечаем на ней точки, соответствующие уравнению.

2. Отмечаем точки окружности, соответствующие неравенству, т. е. выделяем соответствующую дугу.

3. Указываем направление отсчёта.

4. Находим начало дуги и угол, ему соответствующий.

5. Находим угол, соответствующий концу дуги.

6. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

Учитель: В таком ли порядке вы решали простейшие неравенства?

Учащиеся: Да.

Комментарий. Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме решения простейших тригонометрических неравенств.

б) Работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные значения.

Учитель: Начнём решать с неравенства № 4.

Организация дальнейшей работы:

https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Один ученик решает неравенство у доски, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух

5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;

cos (x – π/6) ≥ 1/5;

x – π/6 Î [-arccos 1/5 + 2πn , arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z;

x Î [π/6 – arccos 1/5 + 2πn , π/6 + arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z.

По завершении решения учитель задает ученику, решавшему неравенство у доски, следующие вопросы:

Учитель: Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?

Учащийся: Тогда квадратные скобки заменили бы на круглые.

Учитель: Как бы записали ответ в случае, если было дано неравенство cos (x – π/6) ≤ 1/5?

Учащийся: x Î [π/6 + arccos 1/5 + 2πn , 13π/6 – arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z.

Учитель: Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались?

Учащийся: Применяли равносильные преобразования (перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей неравенства на положительное число); рассматривали сложный аргумент как простой.

Учитель: (обращаясь к классу); есть ли вопросы или замечания к отвечающему? (ученик отвечает на вопросы учащихся и соглашается или нет с замечаниями, затем садится на место).

Учитель: На какое неравенство похоже неравенство №1 и чем?

Учащиеся: На неравенство № 5 способом сведения к простейшему; на неравенство № 4 расположением дуги.

Учитель: Решите устно неравенство № 1: 2sin (x – π/4) ≥ .

Учащиеся: Ответ: x Î [ π/2 + 2πn , π + 2πn ], n Î Z.

Комментарий. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если было вместо знака «>» стоял знак «<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».

г) Совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием формул приведения.

Учитель: Рассмотрим неравенство № 2 cos (3π/2 + x )< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Желающий ученик решает неравенство у доски, не проговаривая решения:

cos (3π/2 + x )< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;

Ответ: x Î (- 2π/3 + 2πn ,-π/3 + 2πn ), n Î Z.

По завершении решения учащиеся проверяют оформление и, если необходимо, делают замечания. После чего учитель задает отвечающему следующие вопросы:

Учитель: Чем это неравенство отличается от решённых ранее?

Учащийся: Это неравенство было сведено к простейшему с использований формулы приведения.

Учитель: Есть ли еще неравенство, которое можно решить этим способом?

Учащийся: № 3.

Учитель: Устно решим неравенство, комментируя ход решения.

Учащиеся: (по порядку комментируют ход решения, учитель вносит изменения в неравенство)

№ 3 cos (π + 2x ) – 1 ≥ 0;

cos (π + 2x ) ≥ 1;

- cos 2x ≥ 1;

cos 2x ≤ -1

2x = -π + 2πn , n Î Z;

x = -π/2 + πn , n Î Z.

Учитель: Итак, какова особенность решения данного неравенства?

Учащиеся: Его решение свелось к решению уравнения.

Учитель: Итак, как вы будете действовать в дальнейшем, когда увидите, что аргумент у тригонометрической функции сложный?

Учащиеся: Мы посмотрим, нельзя ли использовать формулы приведения, чтобы упростить аргумент.

Повторение тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам:

Ваш комментарий (необязательно):