Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно

В этой статье мы установим связь между основными единицами измерения углов – градусами и радианами. Эта связь нам в итоге позволит осуществлять перевод градусов в радианы и обратно . Чтобы эти процессы не вызывали затруднений, мы получим формулу перевода градусов в радианы и формулу перехода от радианов к градусам, после чего подробно разберем решения примеров.

Навигация по странице.

Связь между градусами и радианами

Связь между градусами и радианами будет установлена, если будет известна и градусная и радианная мера какого-нибудь угла (с градусной и радианной мерой угла можно ознакомиться в разделе ).

Возьмем центральный угол, опирающийся на диаметр окружности радиуса r . Мы можем вычислить меру этого угла в радианах: для этого нам нужно длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Этому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности , то есть, . Разделив эту длину на длину радиуса r , получим радианную меру взятого нами угла. Таким образом, наш угол равен рад. С другой стороны, этот угол развернутый, он равен 180 градусам. Следовательно, пи радианов есть 180 градусов.

Итак, выражается формулой π радианов = 180 градусов , то есть, .

Формулы перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Из равенства вида , которое мы получили в предыдущем пункте, легко выводятся формулы перевода радианов в градусы и градусов в радианы .

Разделив обе части равенства на пи, получаем формулу, выражающую один радиан в градусах: . Эта формула означает, что градусная мера угла в один радиан равна 180/π . Если же поменять местами левую и правую части равенства , после чего разделить обе части на 180 , то получим формулу вида . Она выражает один градус в радианах.

Чтобы удовлетворить свое любопытство, вычислим приближенную величину угла в один радиан в градусах и величину угла в один градус в радианах. Для этого возьмем значение числа пи с точностью до десятитысячных, подставим его в формулы и , и проведем вычисления. Имеем и . Итак, один радиан приближенно равен 57 градусам, а один градус – 0,0175 радиана.

Наконец, от полученных соотношений и перейдем к формулам перевода радианов в градусы и наоборот, а также рассмотрим примеры применения этих формул.

Формула перевода радианов в градусы имеет вид: . Таким образом, если известна величина угла в радианах, то умножив ее на 180 и разделив на пи, получим величину этого угла в градусах.

Пример.

Дан угол в 3,2 радиана. Какова мера этого угла в градусах?

Решение.

Воспользуемся формулой перехода от радианов к градусам, имеем

Ответ:

.

Формула перевода градусов в радианы имеет вид . То есть, если известна величина угла в градусах, то умножив ее на пи и разделив на 180 , получим величину этого угла в радианах. Рассмотрим решение примера.

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Связь между градусами и радианами

Чтобы установить связь между градусами и радианами, необходимо узнать градусную и радианную меру какого-либо угла. Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла необходимо длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π · r . Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π · r r = π рад.

Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180 ° . Следовательно 180 ° = π рад.

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

π радиан = 180 °

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

1 р а д = 180 π ° - градусная мера угла в 1 радиан равна 180 π .

Также можно выразить один градус в радианах.

1 ° = π 180 р а д

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

1 р а д = 180 π ° = 180 3 , 1416 ° = 57 , 2956 °

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

1 ° = π 180 р а д = 3 , 1416 180 р а д = 0 , 0175 р а д

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

x р а д = х · 180 π °

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Рассмотрим пример.

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Пусть α = 3 , 2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.

Давай посмотрим на рисунке. Вектор \(AB \) «повернулся» относительно точки \(A \) на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол \(\alpha \) .

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в \(1{}^\circ \) (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную \(\dfrac{1}{360} \) части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из \(360 \) «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен \(360{}^\circ \) .

То есть на рисунке выше изображён угол \(\beta \) , равный \(50{}^\circ \) , то есть этот угол опирается на круговую дугу размером \(\dfrac{50}{360} \) длины окружности.

Углом в \(1 \) радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Итак, на рисунке изображён угол \(\gamma \) , равный \(1 \) радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина \(AB \) равна длине \(BB" \) или радиус \(r \) равен длине дуги \(l \) ). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

\(l=\theta \cdot r \) , где \(\theta \) - центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

\(L=2\pi \cdot r \)

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен \(2\pi \) . То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что \(2\pi =360{}^\circ \) . Соответственно, \(\pi =180{}^\circ \) . Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решениидифференциальныхи функциональных уравнений.

К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M (x,y ). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α .

Синусом угла α y точки M (x,y ) к радиусу r : sin α = y /r . Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M (x,y ).

Косинусом угла α x точки M (x,y ) к радиусу r : cos α = x /r = x

Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M (x,y ) к ee абсциссе x : tan α = y /x , x ≠ 0

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M (x,y ) к ее ординате y : cot α = x /y , y ≠ 0

Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M (x,y ): sec α = r /x = 1/x , x ≠ 0

Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M (x,y ): cosec α = r /y = 1/y , y ≠ 0

В единичном круге проекции x , y точки M (x,y ) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом: Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему. Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.

График функции синус y = sin x , область определения: x ∈ ℜ , область значений: −1 ≤ sin x ≤ 1

График функции косинус y = cos x , область определения: x ∈ ℜ , область значений: −1 ≤ cos x ≤ 1

График функции тангенс y = ttg x , область определения: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, область значений: −∞ < tg x < ∞

График функции котангенс y = ctg x , область определения: x ∈ ℜ , x ≠ kπ , область значений: −∞ < ctg x < ∞