И модель скользящего среднего (MA).

Определение

Моделью ARMA(p , q ), где p и q - целые числа, задающие порядок модели, называется следующий процесс генерации временного ряда { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} :

X t = c + ε t + ∑ i = 1 p α i X t − i + ∑ i = 1 q β i ε t − i {\displaystyle X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}\varepsilon _{t-i}} ,

где c {\displaystyle c} - константа, { ε t } {\displaystyle \{\varepsilon _{t}\}} - белый шум , то есть последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин (как правило, нормальных), с нулевым средним, а α 1 , … , α p {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p}} и β 1 , … , β q {\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{q}} - действительные числа, авторегрессионные коэффициенты и коэффициенты скользящего среднего, соответственно.

Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка - скользящие средние из элементов белого шума . ARMA-процессы имеют более сложную структуру по сравнению со схожими по поведению AR- или MA-процессами в чистом виде, но при этом ARMA-процессы характеризуются меньшим количеством параметров, что является одним из их преимуществ .

Операторное представление. Стационарность и единичные корни

Если ввести в рассмотрение лаговый оператор L: L x t = x t − 1 {\displaystyle L:~Lx_{t}=x_{t-1}} , тогда ARMA-модель можно записать следующим образом

X t = c + (∑ i = 1 p α i L i) X t + (1 + ∑ i = 1 q β i L i) ε t {\displaystyle X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}L^{i})X_{t}+(1+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}L^{i})\varepsilon _{t}} (1 − ∑ i = 1 p α i L i) X t = c + (1 + ∑ i = 1 q β i L i) ε t {\displaystyle (1-\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}L^{i})X_{t}=c+(1+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}L^{i})\varepsilon _{t}}

Введя сокращенные обозначения для полиномов левой и правой частей окончательно можно записать:

α (L) X t = c + β (L) ε t {\displaystyle \alpha (L)X_{t}=c+\beta (L)\varepsilon _{t}}

Для того, чтобы процесс был стационарным, необходимо, чтобы корни характеристического многочлена авторегрессионной части α (z) {\displaystyle \alpha (z)} лежали вне единичного круга в комплексной плоскости (были по модулю строго больше единицы). Стационарный ARMA-процесс можно представить как бесконечный MA-процесс:

X t = α − 1 (L) c + α − 1 (L) β (L) ε t = c / a (1) + ∑ i = 0 ∞ c i ε t − i {\displaystyle X_{t}=\alpha ^{-1}(L)c+\alpha ^{-1}(L)\beta (L)\varepsilon _{t}=c/a(1)+\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\varepsilon _{t-i}}

Например, процесс ARMA(1,0)=AR(1) можно представить как MA-процесс бесконечного порядка с коэффициентами убывающей геометрической прогрессии:

X t = c / (1 − a) + ∑ i = 0 ∞ a i ε t − i {\displaystyle X_{t}=c/(1-a)+\sum _{i=0}^{\infty }a^{i}\varepsilon _{t-i}}

Таким образом, ARMA-процессы можно считать MA-процессами бесконечного порядка с определенными ограничениями на структуру коэффициентов. Малым количеством параметров они позволяют описать процессы достаточно сложной структуры. Все стационарные процессы можно сколь угодно приблизить ARMA-моделью некоторого порядка с помощью существенно меньшего числа параметров, нежели только при использовании MA-моделей.

Нестационарные (интегрированные) ARMA

При наличии единичных корней авторегрессионного полинома процесс является нестационарным. Корни меньше единицы на практике не рассматриваются, поскольку это процессы взрывного характера. Соответственно, для проверки стационарности временных рядов один из базовых тестов - тесты на единичные корни . Если тесты подтверждают наличие единичного корня, то анализируются разности исходного временного ряда и для стационарного процесса разностей некоторого порядка (обычно достаточно первого порядка, иногда второго) строится ARMA-модель. Такие модели называются ARIMA-моделями (интегрированный ARMA) или моделями Бокса-Дженкинса. Модель ARIMA(p, d, q), где d-порядок интегрирования (порядок разностей исходного временного ряда), p и q - порядок AR и MA - частей ARMA-процесса разностей d-го порядка, можно записать в следующей операторной форме

Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом, включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Итак, имеется три типа параметров модели: параметры авторегрессии (p ), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q ). В обозначениях Бокса и Дженкинса модель записывается как АРИСС(p,d,q ). Например, модель (0 ,1 ,2 ) содержит 0 (нуль) параметров авторегрессии (p ) и 2 параметра скользящего среднего (q ), которые вычисляются для ряда после взятия разности с лагом 1.

Нестационарные ряды преобразовываются в стационарные путем перехода от исходного ряда к его разностям порядка :

На практике обычно разности берутся с лагом 0, 1 или 2. Разность может браться повторно, несколько раз.

Для преобразования нестационарного ряда в стационарный могут быть использованы и другие преобразования. Например, из временного ряда может быть удалена тенденция, или, если временной ряд характеризуется экспоненциальным ростом, то полезно предварительно использовать операцию логарифмирования.

В общем случае построение модели осуществляется с использованием трехстадийной итерационной процедуры (рис. 5.3) . Только после этого модель может быть использована для прогнозирования.

Под идентификацией имеется в виду определения подкласса экономных (с точки зрения числа параметров) моделей, среди которых следует искать адекватную. Целью этого этапа является получение некоторого представления о величинах p, d, q.

Идентификация включает две стадии: определение порядка разности исходного ряда, который обеспечивает стационарность, идентификация модели АРСС для ряда . Главными инструментами анализа на обоих стадиях являются АКФ и ЧАКФ. Они используются не только для определения вида модели, но и для приближенной оценки параметров.

После определения вида модели необходимо оценить параметры модели и проверить ее адекватность исследуемому временному ряду. Для оценки параметров модели как правило используется метод максимального правдоподобия, а для проверки адекватности используются методы, основанные на анализе остатков.

Далее рассмотрим каждый из этапов алгоритма построения модели, особый акцент сделав на этапе идентификации, так как от правильного выбора вида модели во многом зависит успешность процесса прогнозирования.

Итак, нам необходимо определить порядок разности, который обеспечивал бы преобразование нестационарного ряда в стационарный.

Для этого сначала определяем, является ли исходный ряд стационарным.

Часто нестационарность ряда можно определить визуально, например наличие монотонного тренда, различные амплитуды колебаний для разных частей траектории и т.д.

Если не наблюдается перечисленных признаков, указывающих на нестационарность, то следует рассмотреть оценку АКФ. Если она не имеет тенденции к затуханию, то можно говорить о нестационарности временного ряда. Если ряд стационарен, то . Если же нет, то следует рассмотреть разность первого порядка ряда. К полученному ряду первых разностей вновь применяют критерий стационарности. В случае нестационарности вновь берут его разности первого порядка, либо от исходного ряда берут разности второго порядка (т.е. имеем разность второго порядка) и вновь используют критерий нестационарности.Итак, при определении порядка разности предполагается, что порядок разности, обеспечивающий стационарность, достигнут тогда, когда АКФ (а соответственно, и ЧАКФ) процесса падает достаточно быстро (затухает).

Для процесса с использованием АКФ определяем и . Для определения параметров , рассматривают выборочные АКФ и ЧАКФ ряда.

Имеются следующие закономерности, связывающие эти параметры в смешанной модели:

Пусть наблюдается процесс скользящего среднего порядка . Тогда его АКФ обрывается на лаге . ЧАКФ плавно спадает.

АКФ в модели, у которой оба параметра не равны нулю, представляется в виде экспонент и затухающих синусоид.

Как видно, критерии определения параметров модели носят достаточно расплывчатый характер, возможно, с их помощью будет идентифицирована не одна модель.

Модель АРСС(1,1).

АКФ затухает либо монотонно, либо колебательно.

В ЧАКФ преобладает затухающий экспоненциальный член, либо монотонный, либо осциллирующий.

Вся совокупность типичных автокорреляционных функций описывается шестью комбинациями различных значений параметров модели и . Знак АКФ на лаге 1 совпадает со знаком разности - . При каждом знаке возможны три варианта поведения АКФ и ЧАКФ: обе монотонны, обе осциллируют, одна осциллирует, другая монотонна. Рассмотрим эти случаи:

На этапе идентификации целесообразно определить несколько подходящих моделей и затем, оценив их параметры и исследовав остатки, оценить адекватность моделей, выбрав далее наилучшую.

Под оценкой коэффициентов модели понимается получение численных значений параметров модели при предположении ее адекватности процессу, т.е. определение коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего. Оценка производится, как правило, методом максимального правдоподобия.

Прогноз осуществляется непосредственно по уравнению модели. Для расчета доверительного интервала может быть использовано выражение:

где - квантиль стандартного нормального распределения c уровнем значимости .

Полная сезонная модель может быть представлена в виде АРИСС(p,d,q)(Ps,Ds,Qs), где параметрами (Ps,Ds,Qs) описывается сезонная компонента модели. Причем разности порядка Ds обычно берутся с сезонным лагом. Порядок сезонной модели определяется, также как и обычной, на этапе идентификации. Причем, все сказанное выше о построении несезонной модели естественным образом распространяется и на сезонные лишь с учетом сезонного фактора.

Использование моделей авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (моделей ARIMA)

Модели стационарных временных рядов

Важное место в аналитических исследованиях отводится моделям стационарных временных рядов. Это объясняется тем, что с помощью определенных преобразований (взятия разности, выделения тренда и др.) многие временные ряды могут быть приведены к стационарному виду, кроме того, получаемые после моделирования остатки зачастую содержат статистические зависимости, которые можно описать с помощью этих моделей.

Существуют понятия стационарности в узком и широком смысле .

Ряд называется строго стационарным (strictly stationary ) или стационарным в узком смысле , если совместное распределение т наблюдений такое же, как и для гп наблюдений , при любых

Из этого определения следует, что свойства строго стационарного временного ряда не зависят от начала отсчета времени.

В практических исследованиях чаще опираются на понятие слабой стационарности (weak stationary ), или стационарности в широком смысле, которое связано с требованиями того, чтобы временной ряд имел среднее, дисперсию и ковариацию, не зависящие от момента времени t

Таким образом, автоковариация у(т) зависит лишь от величины лага т, но не зависит от t.

С понятием автоковариации тесно связано понятие автокорреляционной функции, АКФ (autocorrelation function, ACF). Значения коэффициентов АКФ характеризуют степень статистической взаимосвязи между уровнями временного ряда, разделенными т тактами времени, и определяются следующим образом:

Очевидно, что . При анализе поведения автокорреляционной функции рассматривают лишь положительные значения лагов, так как из условия стационарности вытекает, что .

В практических исследованиях выборочные значения коэффициентов автокорреляции оцениваются на основе имеющихся уровней временного ряда :

где п – длина временного ряда – временной сдвиг; .

График, отражающий изменение коэффициентов автокорреляции при различных значениях лага, называют коррелограммой (correlograni).

Для стационарного временного ряда с увеличением лагазначения коэффициентов автокорреляции должны демонстрировать быстрое монотонное убывание по абсолютной величине.

На рис. 8.19 показан пример автокорреляционной функции, рассчитанной для временного ряда ежемесячной динамики добычи нефти.

Рис. 8.19.

Предварительный графический анализ исходного ряда указывал на наличие тренда и периодичности, что согласуется с рис. 8.19. Значения коэффициентов автокорреляции не демонстрируют быстрого затухания, что свидетельствует о нестационарном характере временного ряда, при этом виден всплеск на 12-м сезонном лаге.

Наряду с АКФ при анализе временных рядов широко используется частная автокорреляционная функция. ЧАКФ (partial autocorrelation function, PACF), коэффициенты которой измеряют корреляцию между уровнями ряда, разделенными т временными тактами, при исключении влияния на эту взаимосвязь всех промежуточных уровней. В аналитических пакетах есть возможность построения наряду с графиком ЛКФ графика ЧЛКФ, на котором показано изменение выборочных оценок коэффициентов частной автокорреляции в зависимости от значений лагов. Очевидно, что для лагакоэффициенты автокорреляции и частной автокорреляции совпадут, но при последующих лагах появятся различия в их значениях.

Примером стационарности служит белый шум (white noise ), свойства которого могут быть представлены в виде

где

Следовательно, при , при этом постоянная дисперсия не зависит от

Примером белого шума могут служить остатки в классической линейной регрессионной модели, которые в случае их нормального распределения образуют гауссовский белый шум.

На рис. 8.20 показан пример временного ряда, соответствующего реализации гауссовского процесса белого шума. Следует обратить внимание на нерегулярный характер колебаний уровней этого временного ряда около нуля, а также на близость коэффициентов автокорреляции к нулю, что обусловлено свойствами (8.25).

Анализ характера поведения АКФ и ЧАКФ – важный этап при выборе моделей.

На практике получили распространение модели авторегрессии и модели скользящего среднего , применяемые для стационарных временных рядов.

Авторегрессионные модели сокращенно обозначаются как АР(р) или в англоязычном варианте AR(p) (autoregressive models of order p), где параметр p указывает порядок авторегрессии. В общем случае авторегрессионный процесс порядка р имеет вид

где В – оператор сдвига, т.е. преобразование временного ряда, смещающее его на один временной такт; Ф(В) – оператор авторегрессии.

Условие стационарности выполняется в случае, если все корни многочлена Ф(В) лежат вне единичного круга, иными словами, все корни характеристического уравненияпо модулю превышают единицу и различны.

характеристическое уравнение принимает вид , или , при этом его корни и по абсолютной величине больше единицы, следовательно, имеем стационарный процесс.

Рис. 8.20. Динамика смоделированного временного ряда, соответствующего реализации гауссовского процесса белого шума (a ), и его автокорреляционная функция (б)

где – числовой коэффициент, удовлетворяющий условию последовательность случайных величин, образующих белый шум.

Для марковского процесса (8.26) математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

Можно показать, что для AR(1) справедливо равенство , следовательно,i, таким образом, теснота корреляционной связи между членами последовательности убывает экспоненциально по мере увеличения значения лага.

При этом – коэффициент автокорреляции первого порядка, так как

При подборе модели полезным оказывается анализ поведения частной автокорреляционной функции. Значения ЧАКФ для процесса А/?(1) равны нулю для всех лагов . Однако это свойство справедливо для теоретической частной автокорреляционной функции. При анализе коэффициентов выборочной частной автокорреляционной функции следует исходить из того, что использование модели ЛД(1) не противоречит исходным данным, если значения коэффициентов незначимо отличаются от нуля при .

Ограничение значений коэффициента а (|а| < 1) определяет условие стационарности для AR( 1).

Примеры выборочных автокорреляционных функций, с характерным для AR( 1) поведением коэффициентов представлены на рис. 8.21, 8.22. На этих рисунках отчетливо видны выбросы на нервом лаге в ЧАКФ, при этом наблюдается экспоненциальное затухание значений коэффициентов ЛКФ (при положительном значении– монотонное затухание (см. рис. 8.21), при отрицательном – знакопеременное (см. рис. 8.22)).

Модель, соответствующая значению, описывает процесс случайного блуждания (random walk). В этом случае каждое текущее значение определяется случайным отклонением от предыдущего:

Однако, как показано на рис. 8.23, свойства процесса случайного блуждания существенно отличаются от AR( 1) при. Процесс случайного блуждания нестационарен, что согласуется с медленным затуханием коэффициентов автокорреляции на рис. 8.23.

В экономических исследованиях также часто встречаются так называемые процессы Юла, или авторегрессионные процессы второго порядка – AR(2):

где – белый шум.

Для процесса Юла можно получить выражение, позволяющее вычислить значения автокорреляций при различных лагах ():

После подстановки значенийв выражение (8.27) с учетом того, что , можно получить так называемую систему Юла – Уокера (Yule -Walkerequations ) для AR (2):

Рис. 8.21. Пример автокорреляционных функций для временного ряда, сгенерированного с помощью модели AR ( 1) при а = 0,8 (корень равен 1,25):

а – АКФ: б – ЧАКФ

Рис. 8.22.

а – АКФ; б – ЧАКФ

Рис. 8.23. Временной ряд, сгенерированный с помощью модели случайного блуждания (а), и его автокорреляционная функция (б)

Эта система позволяет выразить коэффициенты моделичерез значения коэффициентов автокорреляции.

При этом условия стационарности процесса AR(2) могут быть представлены в следующем виде:

В общем случае для процессавыражение, позволяющее вычислить значения автокорреляций при различных лагах (), примет вид

Последовательная подстановка в формулу (8.28) значений лагов k = 1, 2. .... р приводит к р уравнениям системы Юла – Уокера. Эта система позволяет получить оценки коэффициентов модели после подстановки в нее значений выборочных коэффициентов автокорреляции.

Итак, изучение поведения коэффициентов автокорреляционных и частных автокорреляционных функций существенно помогает при идентификации авторегрессионных моделей.

На целесообразность применения модели AR(p) могут указывать значения коэффициентов ЛКФ, демонстрирующие экспоненциальное затухание (либо монотонное, либо с попеременной сменой знака), при этом в значениях коэффициентов ЧАКФ должны наблюдаться выбросы (пики) на первыхр лагах, а остальные значения коэффициентов статистически незначимы.

Также широкое распространение при моделировании стационарных временных рядов получили модели скользящего среднего, обозначаемые СС(q) или в англоязычном варианте MA(q) (moving average models). Модель MA(q) имеет вид

где – белый шум.

На практике чаще всего используются модели скользящего среднего невысоких порядков:

Можно преобразовать соотношение (8.29) для MA(1) к следующему виду, последовательно выражая и т.д.:

Проведенное преобразование показывает, что ряд, представленный в виде модели МA( 1) (8.29), также может быть представлен в виде модели авторегрессии бесконечного порядка (8.30).

Если в модели МA( 1) параметр θ по абсолютной величине будет больше единицы, то согласно выражению (8.30) текущее значение у, будет зависеть от прошлых уровней, берущихся с весами, бесконечно растущими по мере удаления в прошлое. Не будет учитываться старение информации и при значении параметра, равном единице. Таким образом, требуется выполнение условия, чтобы веса в выражении (8.30) образовывали бы сходящийся ряд.

Отметим, что также возможно представление AR(1) в виде МЛ(<=°). На коэффициенты процесса AR(p ) не накладываются никакие условия для обратимости, но для выполнения условия стационарности процесса корни его характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга. В то же время для обратимости процесса MA(q) корни его характеристического уравнения

должны лежать вне единичного круга, в то же время не накладываются ограничения на коэффициенты модели для выполнения условия стационарности.

Можно представить выражение для коэффициентов автокорреляции процесса MA(q) в виде

Из данного представления следует характерная особенность поведения АКФ для процесса MA(q): для всех значений лагов τ, превышающих порядок модели q, коэффициенты автокорреляции равны нулю.

Значения АКФ для частного случая – модели МЛ(1) – определяются следующим образом:

Поведение ЧАКФ напоминает затухающую экспоненту, при этом задается выражением

Примеры выборочных автокорреляционных функций с характерным для МА(1) поведением коэффициентов представлены па рис. 8.24, 8.25. На рис. 8.24, соответствующем временному ряду, сгенерированному с помощью модели МА( 1) при значении параметра, наблюдается положительный выброс в АКФ, при этом коэффициенты в ЧАКФ демонстрируют затухание с переменным знаком. В свою очередь на рис. 8.25, иллюстрирующем характер поведения АКФ и ЧАКФ для реализации процесса МА( 1 ) при значении параметра, наблюдается выброс в АКФ в отрицательной области, так же как и затухание соответствующих коэффициентов в ЧЛКФ.

Свойства моделей скользящих средних позволяют сформулировать следующие практические рекомендации. На целесообразность применения модели MA(q) могут указывать имеющиеся выбросы (пики) на первых q лагах автокорреляционной функции, при этом частная автокорреляционная функция должна демонстрировать экспоненциальное затухание (монотонное либо знакопеременное).

Для описания стационарных процессов также может использоваться модель авторегрессии – скользящего среднего – АРСС(р, q), или, как принято в англоязычном варианте, ARMA(p , q) (autoregressive-moving average model ), включающая как авторегрессионные составляющие, так и члены, моделирующие остаток в виде процесса скользящих средних.

Рис. 8.24.

a – ЛКФ:й- ЧАКФ

Рис. 8.25.

а – АКФ; б – ЧАКФ

Модель ARMA(p, q), в которой параметр р определяет порядок авторегрессионной составляющей, a q – порядок скользящих средних, имеет вид

В этой модели в качестве объясняющих переменных рассматриваются прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка – скользящие средние из элементов белого шума.

Для стационарности процесса (8.31) требуется, чтобы вне единичного круга лежали все корни характеристического уравнения AR(p ) процесса. Аналогично для обратимости процесса (8.31) требуется, чтобы вне единичного круга находились все корни характеристического уравнения процесса MA(q).

Например, наиболее простой вариант смешанной модели ARMA(1, 1) можно представить в виде

При этом стационарность процесса обеспечивается условием, а обратимость – выполнением ограничения

Для процесса ARMA( 1, 1) значения коэффициентов автокорреляции определяются следующим образом:

Из данных выражений следует, что значения коэффициентов автокорреляции будут экспоненциально убывать от значения!. В случае положительного значения коэффициента а убывание будет носить монотонный характер, при отрицательном значении а убывание коэффициентов автокорреляции будет знакопеременным.

Поведение ЧАКФ также характеризуется экспоненциальным убыванием, при положительном значении Θ – монотонным, при отрицательном – знакопеременным.

Рассмотренные особенности поведения АКФ и ЧАКФ играют важную роль при выборе моделей.

Для данного временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений е, будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. До сих пор мы рассматривали модели вида (6.7), в которых в качестве регрессора выступала переменная t - «время». В эконометрике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаго- вые переменные , т. е. переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием рассматриваемых в этом параграфе регрессионных моделей является то, что представленные в них объясняющие переменные являются величинами случайными. (Подробнее об этих моделях см. гл. 8.)

где р 0 ,р,...,р я - некоторые константы.

Она описывает изучаемый процесс в момент t в зависимости от его значений в предыдущие моменты /- 1, t- 2,..., t - р.

Если исследуемый процесс y t в момент t определяется его значениями только в предшествующий период t - 1, то рассматривают авторегрессионную модель 1 -го порядка (или модель AR (1) - марковский случайный процесс):

Пример 6.5. В таблице представлены данные, отражающие динамику курса акций некоторой компании (ден. ед.):

Таблица 6.2

Решение. Попытка подобрать к данному временному ряду адекватную модель вида (6.7) с линейным или полиномиальным трендом оказывается бесполезной.

Найденное уравнение регрессии значимо на 5%-ном уровне по /’-критерию, так как фактически наблюдаемое значение статистики F= 24,32 > /о,05;1;19 = 4,35. Можно показать (например, с помощью критерия Дарбина-Уотсона) (см. далее, § 7.7)), что возмущения (ошибки) z f в данной модели удовлетворяют условиям классической модели и для проведения прогноза могут быть использованы уже изученные нами методы.

Вычисления, аналогичные примеру 6.3, дают точечный прогноз по уравнению (6.13):

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений -

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение курса акций данной компании на момент t= 23 будет заключено в пределах от 1046,6 до 1341,6 (ден. ед.), а его индивидуальное значение - от 879,1 до 1509,1 (ден. ед.). ?

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней *, в которой моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (ошибок) в предыдущие моменты времени.

Модель скользящей средней q-vo порядка (или модель МА ()), имеет вид:

В эконометрике используются также комбинированные модели временных рядов AR и МА.

В заключение этой главы отметим, что использование соответствующих авторегрессионных моделей для прогнозирования экономических показателей, т. е. автопрогноз на базе рассмотренных моделей, может оказаться весьма эффективным (как правило, в краткосрочной перспективе).

Упражнения

В примерах 6.6-6.8 имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы у, (ц/га) за 10 лет:

• 6.6. Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов т = 1;2) временного ряда.
• 6.7. Найти уравнение тренда временного ряда y h полагая, что он линейный, и проверить его значимость на уровне 0,05.
• 6.8. Провести сглаживание временного ряда у, методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания: а) т= 3; б) т= 5.
• 6.9. В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения y t (ден. ед.) за восьмилетний период:

Модель скользящего среднего предполагает, что в ошибках модели в предшествующие периоды сосредоточена информация обо всей предыстории ряда. В этой модели каждое новое значение - среднее между текущей флуктуацией и несколькими (в частности, одной) предыдущими ошибками.

Модели скользящего среднего порядка q, обозначаемые CC(q), в англоязычной литературе MA(q) (Moving Average models), имеют вид:

у t = e t - q 1 e t -1 - q 2 e t -2 -…- q q e t - q , (3.14)

где e t - “ белый шум”.

Широко распространены в статистической практике модели скользящего среднего 1-го (q = 1) и второго порядка (q = 2):

МА(1): у t = e t - q e t -1 ; (3.15)

МА(2): у t = e t - q 1 e t -1 - q 2 e t -2 . (3.16)

Рассмотрим модель скользящего среднего 1-го порядка - МА (1). Преобразуем (3.15), последовательно выражая e t -1 , e t -2 , e t -3 и т.д.:

e t = у t + q e t -1 = у t + q (y t -1 - q e t -2) = у t + q y t -1

+ q 2 (у t -2 + q e t -3) = y t +q y t -1 + q 2 у t -2 +q 3 (у t -3 + q e t -4) =

= y t +q y t -1 + q 2 у t -2 +q 3 у t -3 + …

Это выражение можно переписать в виде:

у t = e t - . (3.17)

Таким образом, ряд у t ,сгенерированный моделью МА (1), может быть представлен также в виде модели авторегрессии бесконечного порядка. В моделях скользящего среднего МА (q ) не требуется накладывать никаких ограничений на параметры q 1 , q 2 , ..., q q для обеспечения стационарности ряда. Однако, если в модели МА(1) параметр q по абсолютной величине больше или равен 1, то текущее значение у t в соответствии с (3.17) будет зависеть от своих прошлых значений у t -1 , у t -2 , ..., берущихся с весами, бесконечно растущими по мере удаления в прошлое. Чтобы избежать этого, надо, чтобы веса в (6.21) образовывали сходящийся ряд, т.е. чтобы |q | < 1.

Отметим, что подобно тому, как ряд, генерированный моделью скользящего среднего первого порядка МА (1), может быть представлен в виде модели авторегрессии бесконечного порядка AR (¥), также существует представление AR (1) в виде МА (¥). При этом на параметры процесса AR (p ) не накладываются никакие условия для того, чтобы этот процесс был обратимым. Но для стационарности процесса корни его характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга. В то же время параметры процесса МА(q) не должны удовлетворять никаким условиям для стационарности, однако для обратимости корни его характеристического уравнения

1 - q 1 z - q 2 z 2 - ... - q q z q = 0.= 0

должны лежать вне единичного круга.

Найдем выражение для АКФ процесса МА(q). Для этого представим y t - k в виде соотношения (3.14):

y t - k = e t - k - q 1 e t - k -1 - q 2 e t - k -2 -…- q q e t - k - q . (3.18)

Перемножим соответственно левые и правые части уравнений (6.18) и (6.22), а затем возьмем математическое ожидание от получившегося выражения. При этом следует учесть, что элементы белого шума e t 1 и e t 2 не коррелируют при t 1 ¹ t 2 .

Тогда выражение для ковариации М(y t у t - t ) = g(t ) примет вид:

АКФ получается путем деления (3.19) на дисперсию процесса g(0):

Таким образом, АКФ процесса МА(q) равна нулю для всех значений t , больших порядка q. Это важное характеристическое свойство модели.

На практике наиболее часто используют частный случай модели - модель скользящего среднего 1-го порядка МА(1):

у t = e t - q e t -1

где e t - “белый шум”.

Как уже было показано ранее, для обратимости процесса необходимо выполнение условия |q | < 1.

Очевидно, что М (у t ) = 0; D (y t ) = .

АКФ согласно (3.20) определяется выражением

ЧАКФ r ч (t ) задается выражением

Поведение ЧАКФ определяется затухающей экспонентой. Если значение r (1) положительно, то параметр < 0, следовательно, r ч (t ) осциллирует с переменным знаком. Если значение r(1) отрицательно, то параметр > 0, следовательно, все значения r ч (t ) отрицательны.

Отмеченные свойства моделей скользящих средних позволяют сформулировать следующие практические рекомендации по их идентификации.

Для моделей МА(1):

Автокорреляционная функция имеет выброс (пик) при лаге, равном 1, а остальные значения статистически незначимы;

Частная автокорреляционная функция экспоненциально затухает (либо монотонно, либо осциллируя, т.е. меняя знак).

Для моделей МА(2):

автокорреляционная функция имеет выбросы (пики) на лагах, равных 1 и 2, а остальные значения статистически незначимы;

Частная автокорреляционная функция имеет форму синусоиды или экспоненциально затухает.

На практике для наглядности описания анализируемого экономического процесса в модель могут быть включены как члены, описывающие авторегрессионные составляющие, так и члены, моделирующие остаток в виде процесса скользящих средних. Такой процесс называется - АРСС (р, q) или, как принято в англоязычной литературе, AutoRegressive-Moving Average (ARMA (р, q)). Параметры р и q определяют соответственно порядок авторегрессионной составляющей и порядок скользящих средних.

Модель ARMA(p, q) имеет вид:

y t =a 1 y t -1 + a 2 y t -2 + … +a p y t - p + e p - q 1 e t -1 - q 2 e t -2 -…- q q e t - q . (3.23)

Такая модель может интерпретироваться как линейная множественная регрессия. В качестве объясняющих переменных в ней выступают предыдущие значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка - скользящие средние из элементов белого шума.

Чтобы процесс (3.23) был стационарным, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения AR(p) -npoцесса лежали вне единичного круга:

1 - a 1 z - a 2 z 2 - ... - a p z p = 0. (3.24)

Аналогично, для обратимости процесса (3.23) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения процесса МА(q ) лежали вне единичного круга:

1 - a 1 z - a 2 z 2 - ... - a q z q = 0 (3.25)

Простейший смешанный процесс ARMA(1,1):

y t =a 1 y t -1 + e p - q 1 e t -1 (3.26)

Это уравнение можно преобразовать к виду:

y t +a 1 y t -1 = e p - q 1 e t -1 (3.27)

Стационарность процесса ARMA(1,1) обеспечивается условием |a | < 1, а обратимость, в свою очередь, гарантируется выполнением условия |q | <1.

Автоковариационные функции процесса ARMA(1,1):

g (0) = , (3.28)

g (1) = . (3.29)

Значение автоковариационной функции для лага t больше 1 определяется следующим рекуррентным соотношением:

g (t ) = ag (t -1) при t > 1. (3.30

Следовательно, значения АКФ будут иметь вид

r (1) = (3.31)

r (t ) = a r (t -1) = a t -1 r (1) при t > 1. (3.32)

Из (3.31),(3.32) видно, что, хотя выражение для r (1) отличается от соответствующего выражения для процесса AR (1), соотношение между r (1) и последующими значениями АКФ такое же. Таким образом, для процесса ARMA (1,1) значения АКФ будут экспоненциально убывать от значения r (1), причем если a положительно, - то монотонно, если отрицательно, - то знакопеременно.

Поведение ЧАКФ определяется начальным значением r ч (1), после которого функция экспоненциально убывает. Если q положительно, то функция убывает монотонно, если отрицательно, - то знакопеременно.

Исследования показывают, что при использовании в экономических задачах модели ARMA (p , q), потребностям практики, как правило, удовлетворяют следующие пять видов этой модели, представленных в таблице.

Свойства автокорреляционных (АКФ)

и частных автокорреляционных (ЧАКФ) функций