Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

1

Дрёмова О.Н. (, МБОУ СОШ «Аннинского Лицея»)

1. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – 10-я изд. – М.: Просвещение, 2016. – 240 с.

2. http://ru.solverbook.com

3. http://ege-study.ru

4. https://reshyege.ru/

5. http:// www.fmclass.ru/math.phpid = 4850e0880794e

6. http://tehtab.ru

7. https://ege.sdamgia.ru/problemid = 50847

8. http://alexlarin.net/ege17.html

Данная статья является реферативным изложением основной работы. Полный текст научной работы, приложения, иллюстрации и иные дополнительные материалы доступны на сайте IV Международного конкурса научно - исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке» по ссылке: https://school-science.ru/1017/7/770.

Гипотеза, актуальность, цель, задачи проекта, объект и предмет исследований, результаты

Цель : Выявить, доказать малоизвестные теоремы, свойства геометрии.

Задачи исследования:

1. Изучить учебную и справочную литературу.

2. Собрать малоизвестный теоретический материал, необходимый для решения планиметрических задач.

3. Разобраться в доказательствах малоизвестных теорем и свойств.

4. Найти и решить задачи КИМов ЕГЭ, на применение этих малоизвестных теорем и свойств.

Актуальность: В ЕГЭ в заданиях по математике, часто встречаются задачи по геометрии, решение, которых вызывают некоторые затруднения, и заставляют тратить много времени. Умение решать такие задачи является неотъемлемым условием успешной сдачи ЕГЭ профильного уровня по математике. Но есть решение этой проблемы, некоторые из данных задач можно с лёгкостью решить, используя теоремы, свойства, которые являются малоизвестными, и им не уделяется внимание в школьном курсе математики. На мой взгляд, этим можно объяснить мой интерес к теме исследования и её актуальность.

Объект исследования: геометрические задачи КИМов ЕГЭ.

Предмет исследования: малоизвестные теоремы и свойства планиметрии.

Гипотеза: Существуют малоизвестные теоремы и свойства геометрии, знание которых облегчит решение некоторых планиметрических задач КИМов ЕГЭ.

Методы исследования:

1) Теоретический анализ и поиск информации о малоизвестных теоремах и свойствах;

2) Доказательство теорем и свойств

3) Поиск и решение задач с применением данных теорем и свойств

В математике, а в целом в геометрии присутствует огромное количество различных теорем, свойств. Известно много теорем и свойств для решения планиметрических задач, которые актуальны и по сей день, но являются малоизвестными, и очень полезными для решения задач. При изучение данного предмета усваиваются лишь основные, всеми известные теоремы и способы решения геометрических задач. Но помимо этого существует довольно большое количество различных свойств и теорем, которые упрощают решение той, или иной задачи, но мало кто про них знает вообще. В КИМах ЕГЭ решать задачи по геометрии можно в разы проще, зная эти малоизвестные свойства и теоремы. В КИМах задачи по геометрии встречаются в номерах в 8, 13, 15 и 16. Малоизвестные теоремы и свойсва, описанные в моей работе, упрощают в разы решение планиметрических задач.

Теорема о биссектрисе углов треугольника

Теорема: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М продолжением стороны АВ. Так как ВК - биссектриса угла АВС, то ∠АВК = ∠КВС. Далее, ∠АВК = ∠ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠КВС = ∠ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠ВСМ = ∠ВМС, и поэтому треугольник ВМС - равнобедренный, откуда ВС = ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК: КС = АВ: ВМ = АВ: ВС, что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачи, при решении которых используется свойство биссектрис треугольника.

Задача № 1. В треугольнике ABC биссектриса AH делит сторону BC на отрезки, длины которых равны 28 и 12. Найдите периметр треугольника ABC, если AB - AC = 18.

AВС - треугольник

АH - биссектриса

Пусть AC = X тогда AB = X + 18

По свойству биссектрисы угла альфа, AB·HC = BH·AC;

28·X = 12·(х + 18)х = 13,5,

значит AC = 13,5, откуда

AB = 13,5 + 18 = 31,5BC = 28 + 12 = 40,

P = AB + BC + AC = 85

Теорема о медианах треугольника

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство. В треугольнике A BC проведем медианы AA1 и CC1 и их точку пересечения обозначим M.

Через точку C1 проведем прямую, параллельную AA1 и ее точку пересечения с BC обозначим D.

Тогда D - середина BA1, следовательно, CA1:A1D = 2:1.

По теореме Фалеса, CM:MC1 = 2:1. Таким образом, медиана AA1 пересекает медиану CC1 в точке M, делящей медиану CC1 в отношении 2:1.

Аналогично, медиана BB1 пересекает медиану CC1 в точке, делящей медиану CC1 в отношении 2:1, т.е. точке M.

Задача № 1. Докажите, что медиана треугольника лежит ближе к большей стороне, т.е. если в треугольнике ABC, AC>BC, то для медианы CC1 выполняется неравенство ACC1< BCC1.

Продолжим медиану CC1и отложим отрезок C1B, равный AC1. Треугольник AC1D равен треугольнику BC1C по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC, ADC1 = BCC1. В треугольнике ACD AC> AD. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то ADC1>ACD. Следовательно, выполняется неравенство ACC1

Задача № 2. Площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника.

ABC-треугольник

Пусть AA1, BB1, CC1 - медианы треугольника ABC, пересекающиеся в точке M. Продолжим медиану CC1 и отложим отрезок C1D, равный MC1.

Площадь треугольника BMC равна 1/3, и его стороны равны 2/3 медиан исходного треугольника. Следовательно, площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника, равна 3/4.Выведем формулу, выражающую медианы треугольника через его стороны. Пусть стороны треугольника ABC равны a, b, c. Искомую длину медианы CD обозначим mc. По теореме косинусов имеем:

Складывая эти два равенства и учитывая, что cosADC = -cosBDC, получаем равенство: из которого находим .

Теорема о средних линиях треугольника

Теорема: три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному с коэффициентом подобия ½

Доказательство:

Пусть ABC - треугольник. С1 - середина АВ, А1 - середина ВС, В1- середина АС.

Докажем, что треугольники AС1В1, BС1А1, А1В1C, С1В1А1 равны.

Так как С1 А1 В1 - середины, то AС1 = С1B, BА1 = А1C, AВ1 = В1C.

Используем свойство среднее линии:

С1А1 = 1/2 ·AC = 1/2 ·(AВ1 + В1C) = 1/2 ·(AВ1 + AВ1) = AВ1

Аналогично С1В1 = А1C, А1В1 = АС1.

Тогда в треугольниках AС1В1, BА1С1, A1В1C, С1В1А1

AС1 = BС1 = А1В1 = А1В1

AВ1 = С1А1 = В1C = C1A1

С1В1 = BА1 = А1C = С1В1

Значит треугольники равны по трем сторонам, из этого следует, что

А1/B1 = A1C1/AC = B1C1/BC = ½

Теорема доказана.

Рассмотрим решение задач с применением свойства средних линий треугольника.

Задача № 1. Дан треугольник АBС со сторонами 9,4 и 7. Найдите периметр треугольника C1A1B1вершинами которого являются середины данных сторон

Дано: треугольник - АВС

9,4,7-стороны треугольника

По свойству подобия треугольников: 3 средние линии треугольника делят его на 4 равные треугольника, подобные данному с коэффициентом 1/2.

C1A1 = 9/2 = 4.5 A1B1 = 4/2 = 2 C1B1 = 7/2 = 3.5 отсюда периметр равен = 4,5 + 2 + 3,5 = 10

Свойство касательной к окружности

Теорема: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Доказательство.

Проведём отрезки AK и BK.Треугольники AKM и BKM подобны т. к. угол M у них общий. А углы AKM и B равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги AK. Следовательно, MK/MA = MB/MK, или MK2 = MA·MB.

Примеры решения задач.

Задача № 1. Из точки А вне окружности проведены секущая, длиной 12 см и касательная, длина которой в 2 раза меньше отрезка секущей, находящегося внутри окружности. найдите длину касательной.

ACD-секущая

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной,

то есть AD·АC = АB2. ИлиAD·(AD-2АB) = АB2.

Подставляем известные значения: 12(12-2АB) = АB2 или АB2 + 24·АB-144.

АB = -12 + 12v2 = 12(v2-1)

Свойство сторон описанного четырёхугольника

Теорема: у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны

Доказательство:

По свойству касательной AP = AQ, DP = DN,CN = CM,и BQ = BM, получаем, что

AB + CD = AQ + BQ + CN + DNиBC + + AD = BM + CM + AP + DP.

Следовательно

AB + CD = BC + AD

Рассмотрим примеры решения задач.

Задача № 1. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

ABCD - четырёхугольник

AB:BC:CD = 1:2:3

Пусть сторона AB = x, тогда AD = 2х, а DC = 3х. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит х + 3х = BC + 2х, откуда ВС = 2х, тогда периметр четырехугольника равен 8X.

Получаем, что х = 4, а большая сторона равна 12.

Задача № 2. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

ABCD-трапеция, l - средняя линия

Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны b и d.По свойству описанного четырехугольника, a + c = b + d, и значит, периметр равен 2(a + c).

Получаем, что а + с = 20, откуда L = 10

Формула Пика

Теорема Пика: площадь многоугольника равна:

где Г - число узлов решетки на границе многоугольника

В - число узлов решетки внутри многоугольника.

Например, для вычисления площади четырёхугольника, изображённого на рисунке, считаем:

Г = 7, В = 23,

откуда S = 7:2 + 23 - 1 = 25,5.

Площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

В некоторых случаях и вовсе можно применить готовую формулу площади треугольника или четырёхугольника. Но в отдельных случаях данные методы применить либо невозможно, либо процесс их применения является трудоёмким, неудобным.

Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, применяя формулу Пика, имеем: S = 8/2 + 19-1 = 22.

Заключение

В ходе исследований подтвердилась гипотеза о том, что в геометрии существуют малоизвестные из школьного курса теоремы и свойства, которые упрощают решение некоторых планиметрических задач, в том числе и задач КИМов ЕГЭ.

Мне удалось найти такие теоремы и свойства и применить их к решению задач, и доказать, что их применение сводит огромные решения некоторых задач, к решениям за пару минут. Применение описанных в моей работе теорем, свойств в отдельных случаях позволяет решить задачу сходу и устно, и позволяет сохранить больше времени на ЕГЭ и просто при их решение в школе.

Я считаю, что материалы моих исследований могут быть полезны выпускникам при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике.

Библиографическая ссылка

Хворов И.И. МАЛОИЗВЕСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ // Международный школьный научный вестник. – 2018. – № 3-2. – С. 184-188;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=544 (дата обращения: 02.01.2020).

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.

Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:

1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;

2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.

3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!

P.S. Друзья, конечно, это бесплатно!

Дорогие друзья! Готовитесь к ОГЭ или ЕГЭ?

Вам в помощь «Справочник по геометрии 7-9» .

Определение параллелограмма.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: AB||CD, AD||DC .

Противоположные стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=DC.

Противоположные углы параллелограмма равны:

∠A= ∠C, ∠B= ∠D.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне составляет 180°. Например, ∠A+ ∠B=180°.

Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Δ ABD=Δ BCD.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD. Пусть АС=d 1 и BD=d 2 , ∠COD=α. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

• Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
• Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Площадь параллелограмма.

1) S=ah;

2) S=ab∙sinα;

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. ABCD — прямоугольник. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали прямоугольника равны.

AC=BD. Пусть АС=d 1 и BD=d 2 , ∠COD=α.

d 1 =d 2 – диагонали прямоугольника равны. α – угол между диагоналями.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов сторон прямоугольника:

(d 1) 2 =(d 2) 2 =a 2 +b 2 .

Площадь прямоугольника можно найти по формулам:

1) S=ab; 2) S=(½)· d²∙sinα; (d- диагональ прямоугольника).

Около любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей; диагонали являются диаметрами окружности.

Ромб.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

ABCD — ромб.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

AC | BD.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба.

1) S=ah;

2) S=a 2 ∙sinα;

3) S=(½) d 1 ∙d 2 ;

4) S= P∙r, где P – периметр ромба, r – радиус вписанной окружности.

Квадрат.

Все стороны квадрата равны, диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагональ квадрата d=a√2.

Площадь квадрата. 1) S=a 2 ; 2) S=(½) d 2 .

Трапеция.

Основания трапеции AD||BC, MN-средняя линия

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S=(AD+BC)∙BF/2 или S=(a+b)∙h/2.

В равнобедренной (равнобокой) трапеции длины боковых сторон равны; углы при основании равны.

Площадь любого четырехугольника.

• Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

S=(½) d 1 ∙d 2 ∙sinβ.

• Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:

Вписанные и описанные четырехугольники.

В выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

AC∙BD=AB∙DC+AD∙BC.

Если суммы противолежащих углов четырехугольника равны по 180°, то около четырехугольника можно описать окружность . Обратное утверждение также верно.

Если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны (a+c=b+d), то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Обратное утверждение также верно.

Окружность, круг.

1) Длина окружности С=2πr;

2) Площадь круга S=πr 2 ;

3) Длина дуги АВ:

4) Площадь сектора АОВ:

5) Площадь сегмента (выделенная область):

(«-» берут, если α<180°; «+» берут, если α>180°), ∠AOB=α – центральный угол. Дуга l видна из центра O под углом α.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c²=a²+b².

Площадь прямоугольного треугольника.

S Δ =(½) a∙b, где a и b — катеты или S Δ =(½) c∙h, где с — гипотенуза, h –высота, проведенная к гипотенузе.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу: h 2 =a c ∙b c ;

а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу: a 2 =c∙a c и b 2 =c∙b c (произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов: h, a, b — средние члены соответствующих пропорций ).

Теорема синусов.

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Следствие из теоремы синусов.

Каждое из отношений стороны к синусу противолежащего угла равно 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других ее сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике (длины боковых сторон равны ) высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет 180°, т. е. ∠1+∠2+∠3=180°.

Внешний угол треугольника (∠4) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. ∠4=∠1+∠2.

Средняя линия треугольника соединяет середины боковых сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине: MN=AC/2.

Площадь треугольника.

Формула Герона.

Центр тяжести треугольника.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Длина медианы, проведенной к стороне а:

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадь каждого из этих двух треугольников равна половине площади данного треугольника.

Биссектриса угла треугольника.

1) Биссектриса угла любого треугольника делит противоположную сторону на части, соответственно пропорциональные боковым сторонам треугольника:

2) если AD=β a , то длина биссектрисы:

3) Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Центр окружности, вписанной в треугольник , лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Площадь треугольника S Δ =(½) P∙r, где P=a+b+c, r-радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника:

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника , равен половине гипотенузы: R=АВ/2;

Медианы прямоугольных треугольников, проведенных к гипотенузе, равны половине гипотенузы (это радиусы описанной окружности) OC=OC 1 =R.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников.

Окружность, описанная около правильного n-угольника.

Окружность, вписанная в правильный n-угольник.

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2).

Сумма внешних углов любого выпуклог0 n-угольника равна 360°.

Прямоугольный параллелепипед.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. a, b, c – линейные размеры прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда d 2 =a 2 +b 2 +c 2 ;

2) Боковая поверхность S бок. =P осн. ∙Н или S бок. =2 (a+b)·c;

3) Полная поверхность S полн. =2S осн. +S бок. или

S полн. =2 (ab+ac+bc);

4) Объем прямоугольного параллелепипеда V=S осн. ∙Н илиV=abc.

1) Все грани куба – квадраты со стороной а.

2) Диагональ куба d=a√3.

3) Боковая поверхность куба S бок. =4а 2 ;

4) Полная поверхность куба S полн. =6а 2 ;

5) Объем куба V=a 3 .

Прямой параллелепипед (в основании лежит параллелограмм или ромб, боковое ребро перпендикулярно основанию).

1) Боковая поверхность S бок. =P осн. ∙Н.

2) Полная поверхность S полн. =2S осн. +S бок.

3) Объем прямого параллелепипеда V=S осн. ∙Н.

Наклонный параллелепипед.

В основании параллелограмм или прямоугольник или ромб или квадрат, а боковые ребра НЕ перпендикулярны плоскости основания.

1) Объем V=S осн. ∙Н;

2) Объем V=S сеч. ∙l , где l — боковое ребро, S сеч. -площадь сечения наклонного параллелепипеда, проведенного перпендикулярно боковому ребру l .

Прямая призма.

Боковая поверхность S бок. =P осн. ∙Н;

Полная поверхность S полн. =2S осн. +S бок. ;

Объем прямой призмы V=S осн. ∙Н.

Наклонная призма.

Боковая и полная поверхности, а также объем можно находить по тем же формулам, что и в случае прямой призмы. Если известна площадь сечения призмы, перпендикулярного ее боковому ребру, то объем V=S сеч. ∙l, где l- боковое ребро, S сеч. -площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру l .

Пирамида.

1) боковая поверхность S бок. равна сумме площадей боковых граней пирамиды;

2) полная поверхность S полн. =S осн. +S бок. ;

3) объем V=(1/3) S осн. ∙Н.

4) У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника, т. е. в центр описанной и вписанной окружностей.

5) Апофема l –это высота боковой грани правильной пирамиды. Боковая поверхность правильной пирамиды S бок. =(½) P осн. ∙l .

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Усеченная пирамида.

Если S и s соответственно площади оснований усеченной пирамиды, то объем любой усеченной пирамиды

где h-высота усеченной пирамиды.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды

где P и p соответственно периметры оснований правильной усеченной пирамиды,

l -апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды).

Цилиндр.

Боковая поверхность S бок. =2πRH;

Полная поверхность S полн. =2πRH+2πR 2 или S полн. =2πR (H+R);

Объем цилиндра V=πR 2 H.

Конус.

Боковая поверхность S бок. = πRl ;

Полная поверхность S полн. =πRl +πR 2 или S полн. =πR (l +R);

Объем пирамиды V=(1/3)πR 2 H. Здесь l – образующая, R — радиус основания, H – высота.

Шар и сфера.

Площадь сферы S=4πR 2 ; Объем шара V=(4/3)πR 3 .

R – радиус сферы (шара).

Н а этой странице собраны теоремы планиметрии, которые репетитор по математике может использовать в подготовке способного ученика к серьезному экзамену: олимпиаде или экзамену в МГУ (в подготовке на Мехмат МГУ, ВМК), к олимпиаде в Высшей Школе Экономики, к олимпиаде в Финансовой Академии и в МФТИ. Знание этих фактов открывает перед репетитором большие возможности по составлению конкурсных задач. Достаточно «обыграть» какую-нибудь упомянутую теорему на числах или дополнить ее элементы несложными взаимосвязями с другими математическими объектами, и получится вполне приличная олимпиадная задачка. Многие свойства присутствуют в сильных школьных учебниках в качестве задач на доказательство и специально не выносятся в заголовки и разделы параграфов. Я постарался исправить этот недостаток.

Математика — необъятный предмет, а количество фактов, которые можно выделять как теоремы — бесконечно. Репетитор по математике не может физически знать и помнить все. Поэтому какие-то хитрые взаимосвязи между геометрическими объектами каждый раз открываются преподавателю заново. Собрать все их на одной странице сразу — невозможно физически. Поэтому я буду заполнять страницу постепенно, по мере использования теорем на своих уроках.

Советую начинающим репетиторам по математике быть осторожнее в использовании дополнительных справочных материалов, поскольку большинство этих фактов школьники не знают.

Репетитор по математике о свойствах геометрических фигур

1) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекается с биссектрисой противоположного ей угла на окружности, описанной около данного треугольника. Это следует из равенства дуг, на которые серединный перпендикуляр делит нижнюю дугу, и из теоремы о вписанном угле в окружность.

2) Если из одной вершины в треугольнике проведены биссектриса b, медиана m и высота h, то биссектриса будет лежать между двумя другими отрезками, а длины всех отрезков подчиняются двойному неравенству .

3) В произвольном треугольнике расстояние от любой его вершины до его ортоцентра (точки пересечения высот) в 2 раза больше расстояния от центра описанной около этого треугольника окружности до противоположной этой вершине стороны. Для доказательства можно провести через вершины треугольника прямые, параллельные его высотам. Затем использовать подобие исходного и полученного треугольника.

4) Точка пересечения медиан M любого треугольника (его центр тяжести) вместе с ортоцентром треугольника H и центром описанной окружности (точка O) лежат на одной примой, причем . Это следует из предыдущего свойства и из свойства точки пересечения медиан.

5) Продолжение общей хорды двух пересекающихся окружностей делит отрезок их общей касательной на две равные части. Это свойство верно независимо от характера этого пересечения (то есть от расположения центров окружностей). Для доказательства можно воспользоваться свойством квадрата отрезка касательной.

6) Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

То есть имеет место следующее равенство

7) Знакома ли Вам ситуация, когда к гипотенузе проводится высота из вершины прямого угла? Наверняка. А знаете ли Вы, что все треугольники, которые при этом получаются подобны? Наверняка знаете. Тогда наверняка не знаете, что любые соответствующие элементы этих треугольников образуют равенство, повторяющее теорему Пифагора, то есть, например, , где и — радиусы вписанных окружностей в малые треугольники, а — радиус окружности, вписанной в большой треугольник.

8) Если вам попался произвольный четырехульник со всеми известными сторонами a,b,c и d, то его площадь можно легко посчитать по по формуле, напоминающей формулу Герона:
, где x – сумма любых двух противоположных углов четырехугольника. Если данный четырехугольника является вписанным в окружность, то и формула принимает вид:
и называется формулой Брахмагупты

9) Если ваш четырехугольник описан около окружности (то есть окружность в него вписана), то площадь четырехугольника вычисляется по формуле

Теоремы и общие сведения

I. Геометрия

II. Планиметрия без формул.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

1. Сумма смежных углов равна 180 ° .

Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

2. Вертикальные углы равны.

Угол, равный 90 ° , называется прямым углом . Прямые , пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

3. Через каждую точку прямой можно провести и притом только одну, перпендикулярную прямую.

Угол, меньший 90 ° , называется острым . Угол больший 90 ° , называется тупым .

4. Признаки равенства треугольников.

- по двум сторонам и углу между ними;

- по стороне и двум прилегающим к ней углам;

- по трем сторонам.

Треугольник называют равнобедренным , если у него две стороны равны.

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.

Высота треугольника – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.

Треугольник называется прямоугольным , если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой . Остальные две стороны, называются катетами .

5. Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:

- углы, противолежащие катетам – острые;

- гипотенуза больше любого из катетов;

- сумма катетов больше гипотенузы.

6. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

- по катету и острому углу;

- по двум катетам;

- по гипотенузе и катету;

- по гипотенузе и острому углу.

7. Свойства равнобедренного треугольника:

- в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

- если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;

- если в треугольнике медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведенная из какой-либо вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный.

8. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

9. (Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.

Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A .

10. Сумма внутренних углов треугольника:

Сумма любых двух углов треугольника меньше 180 ° ;

В каждом треугольнике два угла острые;

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним;

Сумма углов треугольника равна 180 ° ;

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника .

11. Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.

12. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющей ее концы.

13. Свойства серединного перпендикуляра отрезка:

Точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов отрезка;

Любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

14. Свойства биссектрисы угла:

Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла;

Любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла.

15. Существование окружности, описанной около треугольника:

Все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности. Описанная около треугольника окружность всегда существует и она единственна;

Центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы.

16. Существование вписанной в треугольник окружности:

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности. Вписанная в треугольник окружность всегда существует и она единственна.

17. Признаки параллельности прямых . Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых :

Две прямые, параллельные третьей - параллельны;

Если при пересечении двух прямых третьей, внутренние (внешние) накрест лежащие углы равны, или внутренние (внешние) односторонние углы в сумме равны 180 ° , то эти прямые параллельны;

Если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние и внешние накрест лежащие углы равны, и внутренние и внешние односторонние углы в сумме равны 180 ° ;

Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой – параллельны;

Прямая , перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй.

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности.

Вписанный угол – угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.

18. Теоремы, относящиеся к окружности:

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей;

Квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть;

Центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается;

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, или дополняет его половину до 180 ° ;

Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны;

Произведение секущей на ее внешнюю часть – величина постоянная;

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

19. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны равны;

Противоположные углы равны;

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон;

Если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны равны, то такой четырехугольник – параллелограмм;

Если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы равны, то такой четырехугольник – параллелограмм;

Если в выпуклом четырехугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм;

Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом.

20. Дополнительные свойства и признаки ромба:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов;

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, или являются биссектрисами соответствующих углов, то этот параллелограмм – ромб.

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

21. Дополнительные свойства и признаки прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны;

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм – прямоугольник;

Середины сторон прямоугольника – вершины ромба;

Середины сторон ромба – вершины прямоугольника.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

22. Дополнительные свойства и признаки квадрата:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны;

Если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то такой четырехугольник – квадрат.

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, называется трапецией.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции .

23. Свойства трапеции:

- в равнобокой трапеции углы при основании равны;

- отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции.

24. Средняя линия трапеции обладает свойством – она параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

25. Признаки подобия треугольников:

По двум углам;

По двум пропорциональным сторонам и углу между ними;

По трем пропорциональным сторонам.

26. Признаки подобия прямоугольных треугольников:

По острому углу;

По пропорциональным катетам;

По пропорциональным катету и гипотенузе.

27. Соотношения в многоугольниках:

Все правильные многоугольники подобны друг другу;

Сумма углов любого выпуклого многоугольника равна 180 ° (n -2);

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360 ° .

Периметры подобных многоугольников относятся, как их сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия;

Площади подобных многоугольников относятся, как квадраты их сходственных сторон, и это отношение равно квадрату коэффициента подобия;

Важнейшие теоремы планиметрии:

28. Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне равные отрезки, то эти прямые отсекают на другой стороне также равные отрезки.

29. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .

30. Теорема косинусов. В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними: .

31. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов: , где - радиус окружности, описанной около этого треугольника.

32. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

33. Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

34. Площадь параллелограмма равна произведению одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону (или произведению сторон на синус угла между ними).

35. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону (или половине произведения сторон на синус угла между ними).

36. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

37. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

38. Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

39. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.

40. В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равновеликих треугольника.

41. Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: .

42. Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180 ° .

43. Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин противоположных сторон равны.

III. Основные формулы планиметрии.

1. Произвольный треугольник. - с тороны; - противолежащие им углы; - полупериметр; - радиус описанной окружности; - радиус вписанной окружности; - площадь; - высота, проведенная к стороне :

Решение косоугольных треугольников:

Теорема косинусов: .

Теорема синусов: .

Длина медианы треугольника выражается формулой:

.

Длина стороны треугольника через медианы выражается формулой:

.

Длина биссектрисы треугольника выражается формулой:

,

Прямоугольный треугольник. - к атеты; - гипотенуза; - проекции катетов на гипотенузу:

Теорема Пифагора: .

Решение прямоугольных треугольников:

2. Равносторонний треугольник :

3. Произвольный выпуклый четырехугольник : - диагонали; - угол между ними; - площадь.

4. Параллелограмм : - смежные стороны; - угол между ними; - высота, проведенная к стороне ; - площадь.

5. Ромб :

6. Прямоугольник:

7. Квадрат:

8. Трапеция: - основания; - высота или расстояние между ними; - средняя линия трапеции.

.

9. Описанный многоугольник (- полупериметр; - радиус вписанной окружности):

10. Правильный многоугольник (- сторона правильного - угольника; - радиус описанной окружности; - радиус вписанной окружности):

11. Окружность, круг (- радиус; - длина окружности; - площадь круга):

12. Сектор (- длина дуги, ограничивающей сектор; - градусная мера центрального угла; - радианная мера центрального угла):

Задача 1. Площадь треугольника ABC равна 30 см 2 . На стороне AC взята точка D так, что AD : DC =2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону BC , равна 9 см. Найти BC .

Решение. Проведем BD (см. рис.1.); треугольники ABD и BDC имеют общую высоту BF ; следовательно, их площади относятся как длины оснований, т.е.:

AD : DC =2:3,

откуда 18 см 2 .

С другой стороны , или , откуда BC =4 см.Ответ: BC =4 см.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны 10 и 12 см, соответственно. Найти длину основания.

Решение. В ABC имеем AB = BC , BD ^ AC , AE ^ DC , BD =10 см и AE =12 см (см. рис.2). Пусть Прямоугольные треугольники AEC и BDC подобны (угол C общий); следовательно, или 10:12=5:6. Применяя теорему Пифагора к BDC , имеем , т.е. .