Наиболее часто в характеристике вариационного ряда используют среднюю арифметическую.

Различают три вида средней арифметической: простая, взвешенная и вычисленная по способу моментов. Средняя арифметическая, которая рассчитана в вариационном ряду, где каждая варианта встречается только 1 раз называется средней арифметической простой (табл. 4) .Ее определяют по формуле:

где М – средняя арифметическая,

V – варианта изучаемого признака,

n –число наблюдений.

Если в исследуемом ряду одна или несколько вариант повторяются несколько раз, то вычисляют среднюю арифметическую взвешенную (табл. 2) , когда учитывается вес каждой варианты в зависимости от частоты ее встречаемости. Расчет такой средней проводят по формуле:

где М – средняя арифметическая взвешенная;

∑ - знак суммы;

V – варианты (числовые значения изучаемого признака);

P – частота, с которой встречается одна и та же варианта признака, т.е. сумма вариант с данным значением признака;

n – число наблюдений, т.е., сумма всех частот или общее число всех вариант (∑p).

Таблица 4

(Расчет простой средней арифметической)

	ЧИСЛО СТУДЕНТОВ (p)
∑V = 691	n = 9
M = уд/мин.

Пример: при определений среднего пульса у студентов перед экзаменом следует сначала вычислить ∑ V * p, а затем среднюю величинуM = = 76,9 уд/мин.(табл. 5).

Нередко при большом числе наблюдений для вычисления средней арифметической взвешенной используют сгруппированный вариационный (или разбитый на равные интервалы) ряд. Такой вариационный ряд должен быть непрерывным, варианты, расположенные в определенном порядке (возрастания или убывания), следуют друг за другом.

Таблица 5

Определение среднего пульса у студентов-мужчин перед экзаменом

(Расчет взвешенной средней арифметической)

ПУЛЬС У СТУДЕНТОВ-МУЖЧИН (V)	ЧИСЛО СТУДЕНТОВ (p)	V * p
∑p = n = 26∑V * p = 2000 M = = 76,9 уд/мин.

При группировке вариационного ряда следует учитывать, что интервал выбирает исследователь, величина интервала зависит от цели и задач исследования.

Число групп в сгруппированном вариационном ряду определяют в зависимости от числа наблюдений.При числе наблюдений от 31 до 100 рекомендуется иметь 5-6 групп, от 101 до 300 - от 6 до 8 групп, от 300 до 1000 наблюдений можно использовать от 10 до 15 групп. Расчет интервала (i) проводится по формеле:i = ,

Vmax – максимальное значение варианты,

Vmin – минимальное значение варианты.

Расчет средней взвешенной в сгруппированном ряду (или интервальном ряду требует определения середины интервала, которую вычисляют как полусуммукрайных значений группы.(табл. 3). Расчет средней величины производят по формуле: M = = =176,7см.(табл. 6).

Таблица 6

(Расчет взвешенной средней арифметическойв сгруппированном ряду)

	ЦЕНТРАЛЬНАЯ ВАРИАНТА ГРУППЫ (V 1), СМ.	ЧИСЛО СТУДЕНТОВ (p)	V 1 ∙ p
	162 = 167 = 172 = 177 = 182 187
∑p = n =212 ∑ V 1 ∙ p = 37469 M = = = 176,74 см.

В случаях, когда варианты представлены большими числами (например, масса тела новорожденных в граммах) и имеется число наблюдений, выраженное сотнями или тысячами случаев, взвешенная средняя арифметическая может быть вычислена по способу моментов (табл. 7) по формуле:

гдеA – условно взятая средняя величина (чаще всего в качестве условной средней берется Мо);

∑ - знак суммы;

α – отклонение каждой варианты в интервалах от условной средней =

p – частота (число раз, с которым встречается одна и та же варианта признака).

αp – произведение отклонения (α) на частоту (p);

n – число наблюдений, т.е. сумма всех частот или общее число всех вариант (∑p).

i – величина интервала = (Vmax – максимальное значение варианты, Vmin – минимальное значение варианты).

Таким образом, средняя взвешенная вычисленная по способу моментов, составила 176,74 см., что практический совпало с расчетами средней обычным методом – 176,7 см.. Однако при вычислений средней по способу моментов используют простые цифры, вычисление менее громоздки, что значительно облегчает и ускоряет расчеты.

Средняя арифметическая (средняя взвешенная) имеет ряд свойств , которые используют в некоторых случаях для упрощения расчета средней и получения ориентировочной величины.

1. Средняя арифметическая занимает срединное положение в строго симметричном вариационном ряду (M = M 0 = M e) .

2. Средняя арифметическая имеет абстрактный характер и является обобщающей величиной, выявляющей закономерность.

3. Алгебраическая сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю: ∑ (V - M) = 0. На этом свойстве основан расчет средней по способу моментов.

Таблица 7

Определение среднего роста студентов-мужчин 20-22 лет

(Методика расчета средней арифметической величины по способу моментов, i = 5)

РОСТ СТУДЕНТОВ-МУЖЧИН (V), СМ.	ЦЕНТРАЛЬНАЯ ВАРИАНТА ГРУППЫ (V 1), СМ.	ЧИСЛО СТУДЕНТОВ (p)	α =	a ∙ p
160-164 165-169 170-174 175-179 180-184 185-189		∑p = n =212	-3 -2 -1 +1 +2	-12 -42 -47 +54 +36 ∑a∙p = -11
M= 177 +

Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при

Свойство 2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: для несгруппированных данных и для рядов распределения.

Это свойство означает, что сумма положительных отклонений равна сумме отрицательных отклонений, т.е. все отклонения, обусловленные случайными причинами взаимно погашаются.

Свойство 3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное: для несгруппировочных данных и для рядов распределения. Это свойство означает, что сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда меньше суммы отклонений вариантов признака от любого другого значения, даже мало отличающегося от средней.

Второе и третье свойство средней арифметической применяются для проверки правильности расчета средней величины; при изучении закономерностей изменения уровней ряда динамики; для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

Все три первых свойства выражают сущностные черты средней как статистической категории.

Следующие свойства средней рассматриваются как вычислительные, поскольку они имеют некоторое прикладное значение.

Свойство 4. Если все веса (частоты) разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая не изменится, поскольку это сокращение в равной степени коснется и числителя и знаменателя формулы расчета средней.

Из этого свойства вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если все веса равны между собой, то вычисление средней арифметической взвешенной можно заменить вычислением средней арифметической простой.

Следствие 2 . Абсолютные значения частот (весов) можно заменять их удельными весами.

Свойство 5. Если все варианты разделить или умножить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшиться или увеличиться в d раз.

Свойство 6. Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянной число A, то и со средней произойдут аналогичные изменения.

Прикладные свойства средней арифметической можно проиллюстрировать, применив способ расчета средней от условного начала (способ моментов).

Средняя арифметическая способом моментов вычисляется по формуле:

где А – середина какого-либо интервала (предпочтение отдается центральному);

d – величина равновеликого интервала, или наибольший кратный делитель интервалов;

m 1 – момент первого порядка.

Момент первого порядка определяется следующим образом:

.

Технику применения этого способа расчета проиллюстрируем по данным предшествующего примера.

Таблица 5.6

Стаж работы, лет	Число рабочих	Середина интервала x
до 5		2,5	-10	-2	-28
5-10		7,5	-5	-1	-22
10-15		12,5
15-20		17,5	+5	+1	+25
20 и выше		22,5	+10	+2	+22
Итого		Х	Х	Х	-3

Как видно из расчетов, приведенных в табл. 5.6 из всех вариантов вычитается одно из их значений 12,5, которое приравнивается нулю и служит условным началом отсчета. В результате деления разностей на величину интервала – 5 получают новые варианты.

Согласно итогу табл. 5.6 имеем: .

Результат вычислений по способу моментов аналогичен результату, который был получен применением основного способа расчета по средней арифметической взвешенной.

Структурные средние

В отличие от степенных средних, которые рассчитываются на основе использования всех вариант значений признака, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами ряда распределения. Мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.

Мода – это величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Нахождение моды в дискретном ряду распределения не требует вычислений. Путем просмотра столбца частот находят наибольшую частоту.

Например, распределение рабочих предприятия по квалификации характеризуются данными табл. 5.7.

Таблица 5.7

Наибольшая частота в этом ряду распределения 80, значит мода равна четвертому разряду. Следовательно, наиболее часто встречаются рабочие, имеющие четвертый разряд.

Если ряд распределения интервальный , то по наибольшей частоте устанавливают только модальный интервал, а затем уже вычисляют моду по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота предмодального интервала;

– частота послемодального интервала.

Вычислим моду по данным, приведенным в табл. 5.8.

Таблица 5.8

Это значит, что чаще всего предприятия имеют прибыль 726 млн р.

Практическое применение моды ограниченно. На значение моды ориентируются, когда определяют наиболее ходовые размеры обуви и одежды при планировании их производства и реализации, при изучении цен на оптовых и розничных рынках (метод основного массива). Моду используют вместо средней величины при подсчете возможных резервов производства.

Медиана соответствует варианте, стоящей в центре ранжированного ряда распределения. Это значение признака, которое делит всю совокупность на две равные части.

Положение медианы определяется ее номером (N).

где – число единиц совокупности. Используем данные примера, приведенные в табл. 5.7 для определения медианы.

, т.е. медиана равна средней арифметической из 100-го и 110-го значений признака. По накопленным частотам определяем, что 100-я и 110-я единицы ряда имеют величину признака, равную четвертому разряду, т.е. медиана равна четвертому разряду.

Медиана в интервальном ряду распределения определяется в следующем порядке.

1. Подсчитываются накопленные частоты по данному ранжированному ряду распределения.

2. На основе накопленных частот устанавливается медианный интервал. Он находится там, где первая накопленная частота равна или больше половины совокупности (всех частот).

3. Вычисляется медиана по формуле:

,

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина интервала;

– сумма всех частот;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала.

Вычислим медиану по данным табл. 5.8.

Первая накопленная частота, которая равна половине совокупности 30, значит медиана находится в интервале 500-700.

Это означает, что половина предприятий получает прибыль до 676 млн р., а другая половина свыше 676 млн р.

Медиану часто используют вместо средней величины, когда совокупность неоднородна, т.к. она не находится под влиянием крайних значений признака. Практическое применение медианы также связано с ее свойством минимальности. Абсолютная сумма отклонений индивидуальных значений от медианы есть величина наименьшая. Поэтому медиану применяют в расчетах при проектировании места расположения объектов, которые будут использоваться различными организациями и лицами.

Свойства средней арифметической. Расчет средней арифметической способом «моментов»

Для снижения трудоемкости расчетов используются основные свойства ср.арифм-кой:

• 1. Если все варианты усредняемого признака увеличить/уменьшить на постоянную величину А, то средняя арифметическая соответственно увеличится/уменьшится.
• 2. Если все варианты, определяемого признака увеличить/уменьшить в н-раз, то ср.арифм увеличится/уменьшится в н-раз.
• 3. Если все частоты усредняемого признака увеличить/уменьшить в постоянное число раз, то ср.арифм.останется неизменной.
• 18. Средняя гармоническая простая и взвешенная

Средняя гармоническая - используется, когда статистическая информация не содержит данных о весах по отдельным вариантам совокупности, но известны произведения значений варьирующего признака на соответствующие им веса.

Общая формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:

х - величина варьирующего признака,

w - произведение значения варьирующего признака на его веса (xf)

Например, три партии товара А куплены по разным ценам (20, 25 и 40 руб.) Общая стоимость первой партии составила 2000 руб., второй партии - 5000 руб., и третьей партии - 6000 руб. Требуется определить среднюю цену единицы товара А.

Средняя цена определяется как частное от деления общей стоимости на общее количество закупленного товара. Используя среднюю гармоническую, мы получим искомый результат:

В том случае, если общие объемы явлений, т.е. произведения значений признаков на их веса равны, то применяется средняя гармоническая простая:

х - отдельные значения признака (варианты),

n - общее число вариант.

Пример. Две машины прошли один и тот же путь: одна со скоростью 60 км/час, а вторая - 80 км/час. Принимаем протяженность пути, который прошла каждая машина, за единицу. Тогда средняя скорость составит:

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности - носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты (значения признака) и веса имеют очень большие или очень малые значения и затрудняется сам процесс подсчета. Тогда для простоты счета используется ряд свойств средней арифметической:

1) если уменьшить (увеличить) все варианты на какое-либо произвольное число А , то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число А , т. е. изменится на ±А ;

2) если уменьшить все варианты (значения признака) в одинаковое число раз (К ), то средняя уменьшится во столько же раз, а при увеличении в (К ) раз – увеличится в (К ) раз;

3) если уменьшить или увеличить веса (частоты) всех вариант на какое-либо постоянное число А , то средняя арифметическая не изменится;

4) сумма отклонений всех вариант от общей средней равна нулю.

Перечисленные свойства средней арифметической позволяют в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты (значения признака) на какое-либо число А , сокращать их в К раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариант, а затем переходить к средней первоначального ряда.

Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как «способ условного нуля» , или «условной средней» , или как «способ моментов».

Кратко этот способ можно записать в виде формулы

Если уменьшенные варианты (значения признака ), обозначить через , то приведенную выше формулу можно переписать в виде .

При использовании формулы для упрощения исчисления средней арифметической взвешенной интервального ряда при определении величины какого-либо числа А используют такие приемы его определения.

Величина А равна величине:

1) первого значения средней величины интервала (продолжим на примере задачи, где млн дол., а .

Расчет средней из уменьшенных вариант

Интервалы	Среднее значение интервала		Число заводов, f	Произведение
До 2	1,5	0 (1,5–1,5)
2–3	2,5	1 (2,5–1,5)
3–4	3,5	2 (3,5–1,5)
4–5	4,5	3 (4,5–1,5)
5–6	5,5	4 (5,5–1,5)
Свыше 6	6,5	5 (6,5–1,5)
Итого:	3,7	–

,

2) величину А берем равной величине среднего значения интервала с наибольшей частотой повторений, в данном случае А = 3,5 при (f = 30), или значение серединной варианты, или наибольшей варианты (в данном случае наибольшее значение признака Х = 6,5) и деленное на размер интервала (в данном примере 1).

Расчет средней при А = 3,5, f = 30, К = 1 на том же примере.

Расчет средней способом моментов

Интервалы	Среднее значение интервала		Число заводов, f	Произведение
До 2	1,5	(1,5 – 3,5) : 1 = –2		–20
2–3	2,5	(2,5 – 3,5) : 1 = –1		–20
3–4	3,5	(3,5 – 3,5) : 1 = 0
4–5	4,5	(4,5 – 3,5) : 1 = 1
5–6	5,5	(5,5 – 3,5) : 1 = 2
Свыше 6	6,5	(6,5 – 3,5) : 1 = 3
Итого:	3,7	–

; ; ;

Способ моментов, условного нуля или условной средней заключается в том, что при сокращенном способе расчета средней арифметической мы выбираем такой момент, чтобы в новом ряду одной из значений признака , т. е. приравниваем и отсюда выбираем величину А и К .

Надо иметь в виду, что если (Х – А ) : К , где К – равная величина интервала, то полученные новые варианты образуют в равноинтервальном ряду ряды натуральных чисел (1, 2, 3 и т. д.) положительных вниз и отрицательных вверх от нуля. Среднюю арифметическую из этих новых вариант называют моментом первого порядка и выражают формулой

.

Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину того интервала (К ), на который делим все варианты, и прибавить к полученному произведению величину варианты (А ), которую вычитали.

;

Таким образом, способом моментов или условного нуля рассчитать среднюю арифметическую из вариационного ряда, если ряд равноинтервальный, значительно легче.

Мода

Мода – есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с наибольшей частотой.

Пример. При определении плана по производству мужских туфлей фабрикой было произведено изучение покупательского спроса по результатам продажи. Распределение проданной обуви характеризовалось следующими показателями:

Наибольшим спросом пользовалась обувь 41 размера и составила 30% от проданного количества. В этом ряду распределения М 0 = 41.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле

.

Прежде всего, необходимо найти интервал, в котором находится мода, т. е. модальный интервал.

В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения, где: – величина нижней границы интервала, содержащего моду; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному, т. е. предмодального; – частота интервала, следующего за модальным, т. е. послемодального.

Пример расчета моды в интервальном ряду

Дана группировка предприятий по численности промышленно-про­из­вод­ственного персонала. Найти моду. В нашей задаче наибольшее число предприятий (30) имеет группировка с численностью работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распространения с равными интервалами. Введем следующие обозначения:

Подставим эти значения в формулу вычисления моды и произведем расчет:

Таким образом, мы определили значение модальной величины признака, заключенного в этом интервале (400–500), т. е. М 0 = 467 чел.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщающего показателя отдается предпочтение моде , а не средней арифметической. Так, при изучении цен на рынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определенную продукцию, а модальная. При изучении спроса населения на определенный размер обуви или одежды представляет интерес определение модального номера, а не средний размер, который вообще не имеет значения. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

На сортосеменной станции при определении качества семян пшеницы было получено следующее определение семян по проценту всхожести:

Определить моду.

Задача 2

При регистрации цен в часы наиболее оживленной торговли у отдельных продавцов были зарегистрированы следующие цены фактической продажи (дол. за кг):

Картофель: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0,15.

Говядина: 2; 2,5; 2; 2; 1,8; 1,8; 2; 2,2; 2,5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2,2; 2; 2; 2; 2.

Какие цены на картофель и говядину являются модальными?

Задача 3

Имеются данные о заработной плате 16 слесарей цеха. Найти модальную величину заработной платы.

В долларах: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.

Расчет медианы

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если дискретный ряд распределения имеет нечетное число членов ряда, то медианой будет варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда, т. е. к сумме частот прибавить 1 и все разделить на 2 – результат и даст порядковый номер медианы.

Если в вариационном ряду четное число вариант, тогда медианой будет половина суммы двух серединных вариант.

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала медианный интервал по накопленным частотам. Таким интервалом будет такой, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот. Накопленные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Расчет медианы в интервальном вариационном ряду

Интервалы	Частоты (f )	Кумулятивные (накопленные) частоты
60–70		10 (10)
70–80		40 (10+30)
80–90		90 (40+50)
90–100		15 (90+60)
100–110		295 (150+145)
110–120		405 (295+110)
120–130		485 (405+80)
130–140		500 (485+15)
Сумма:	∑f = 500

Половина суммы накопленных частот в примере равна 250 (500: 2). Следовательно, медианным интервалом будет интервал со значением признака 100–110.

До этого интервала сумма накопленных частот составила 150. Следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 100 единиц (250 – 150). При определении значения медианы предполагается, что значение признака в границах интервала распределяется равномерно. Следовательно, если 145 единиц, находящихся в этом интервале, распределить равномерно в интервале, равно 10, то 100 единицам будет соответствовать величина:

10: 145 ´ 100 = 6,9.

Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомое значение медианы:

Или медиану в вариационном интервальном ряду можно исчислить по формуле:

,

где – величина нижней границы медианного интервала (); – величина медианного интервала ( =10); – сумма частот ряда (численность ряда 500); – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному ( = 150); – частота медианного интервала ( = 145).

Метод моментов приравнивает моменты теоретического распределения к моментам эмпирического распределения (распределения, построенного по наблюдениям). Из полученных уравнений находятся оценки параметров распределения. Например, для распределения с двумя параметрами первые два момента (среднее и дисперсия распределения, соответственно, m и s) будут приравнены первым двум эмпирическим (выборочным) моментам (среднему и дисперсии выборки, соответственно), и затем будет произведено оценивание.

Где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .

Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, x i	Кол-во, f i	x i ·f i	Накопленная частота, S	(x-x ) 2 ·f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Мода

где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 - 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.



Находим А = 22.5, шаг интервала h = 5.
Средний квадрат отклонений по способу моментов .

x ц	x * i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

мин.

Среднее квадратическое отклонение .
мин.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

Пример

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

Среднее значение изучаемого признака по способу моментов .

где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.