Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение "высота пирамиды" очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.

Части пирамиды

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

• боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
• апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
• вершина пирамиды - это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
• основание - это многоугольник, на котором не лежит вершина;
• высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

Через формулу V = (S*h)/3 (в формуле V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной основания равна 50 см 2 , тогда как ее объем составляет 125 см 3 . Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а - гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b - первый катет или половина диагонали и с - соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² - b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра - 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды - это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания - d2, а ребро имеет длину - l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего - 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза - 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.

Инструкция

В том случае, если в основании пирамиды лежит квадрат, известна длина его диагонали, а также длина ребра этой пирамиды , то высоту этой пирамиды можно выразить из теоремы Пифагора, ведь треугольник, который образован ребром пирамиды , и половиной диагонали в основании - это прямоугольный треугольник.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы в прямоугольном по величине равен сумме квадратов его катетов(a² = b² + c²). Грань пирамиды - гипотенуза, один из катетов - половина диагонали квадрата. Тогда длина неизвестного катета (высоты) находится по формулам:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

Чтобы обе ситуации были максимально ясны и понятны, можно рассмотреть пару .
Пример 1: Площадь основания пирамиды 46 см², ее объем равен 120 см³. Исходя из этих данных, высота пирамиды находится так:
h = 3*120/46 = 7.83 см
Ответ: высота данной пирамиды составит, приблизительно, 7.83 см
Пример 2: У пирамиды , в основании которого лежит многоугольник - квадрат, его диагональ равна 14 см, длина ребра составляет 15 см. Согласно этим данным, чтобы найти высоту пирамиды , требуется воспользоваться следующей формулой (которая как следствие из теоремы Пифагора):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 см
Ответ: высота данной пирамиды составляет √29 см или, приблизительно, 5.4 см

Обратите внимание

Если в основании пирамиды находится квадрат или иной правильный многоугольник, то данную пирамиду можно называть правильной. Такая пирамида обладает рядом свойств:
ее боковые ребра равны;
грани ее - равнобедренные треугольники, которые равны между собой;
около такой пирамиды можно описать сферу, а также и вписать ее.

Источники:

• Правильная пирамида

Любое геометрическое тело может быть интересно не только школьнику. В окружающем мире довольно часто встречаются предметы в форме пирамиды. И это не только знаменитые египетские гробницы. Часто говорят о целебных свойствах пирамиды, и кому-то наверняка захочется испытать их на себе. Но для этого надо знать ее размеры, в том числе высоту.

Вам понадобится

• Математические формулы и понятия:
• Определение высоты пирамиды
• Признаки подобия треугольников
• Свойства высоты треугольника
• Теорема синусов и косинусов
• Таблицы синусов и косинусов
• Инструменты:
• линейка
• карандаш
• транспортир

Инструкция

Вам известны стороны, углы основания и наклона к основанию. Чертеж получится на , поэтому для верности обозначьте на нем известные вам данные. Из точки S опустите высоту пирамиды и обозначьте ее h. Точку пересечения высоты с основанием пирамиды обознчьте S1.

Из вершины пирамиды проведите высоту любой боковой грани. Обозначьте точку ее пересечения с основанием, например, А1. Вспомните высоты остроугольного треугольника. Она делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. Вычислите нужных вам углов по формуле

Cos(A) = (b2+c2-a2)/(2*b*c), где а,b и с - стороны треугольника, в данном случае АSB (a=BA,b=AS,c=AB).

Вычислите высоту боковой грани SA1 по косинусу угла АSA1, равного углу SBA из свойств , и известному боковому ребру AS.

Видео по теме

Обратите внимание

Для вычисления высоты любой пирамиды необходимо сначала вычислить один из боковых треугольников.

В правильной пирамиде высота боковой грани называется апофемой и делит сторону основания пирамиды пополам.

Полезный совет

В правильной пирамиде все стороны наклонены к основанию под одним и тем же углом, поэтому высоту пирамиды можно вычислить и без построения дополнительных треугольников.

Высота боковой грани делит ее на 2 подобных прямоугольных треугольника. Соответственно, угол SAB равен углу А1SB.

Пирамидой называют фигуру, в основании которой лежит многоугольник, при этом её грани представляют собой треугольники с общей для всех вершиной. В типовых задачах часто требуется построить и определить длину перпендикуляра, проведённого из вершины пирамиды к плоскости её основания. Длина этого отрезка называется высотой пирамиды .

Вам понадобится

• - линейка
• - карандаш
• - циркуль

Инструкция

Для выполнения постройте пирамиду в соответствии с условием задачи. Например, для построения правильного тетраэдра необходимо начертить фигуру так, чтобы все 6 рёбер были равны между собой. Если требуется построить высоту четырёхугольной , то равными должны быть лишь 4 ребра основания. Тогда рёбра боковых граней можете строить неравными с рёбрами многоугольника. Назовите пирамиду, обозначив все вершины буквами латинского . Например, для пирамиды с треугольником в основании можно выбрать A, B, C (для основания), S (для вершины). Если в условии заданы конкретные размеры рёбер, то при построении фигуры исходите из данных величин.

Для начала условно подберите при помощи циркуля , касающуюся изнутри всех рёбер многоугольника. Если пирамида , то точка (назовите её, например, Н) на основании пирамиды , в которую опускается высота, должна соответствовать центру окружности вписанной в правильный основания пирамиды . Центру будет соответствовать точка, равноудалённая от любой другой точки на окружности. Если соединить вершину пирамиды S с центром окружности H, то отрезок SH и будет высотой пирамиды . При этом помните, что окружность можно вписать в четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого одинаковы. Это касается квадрата и ромба. При этом точка H будет лежать четырёхугольника. Для любого треугольника есть возможность вписать и описать окружность.

Чтобы построить высоту пирамиды , воспользуйтесь циркулем для рисования окружности, а затем при помощи линейки соедините её центр H с вершиной S. SH – искомая высота. Если в основании пирамиды SABC неправильная фигура, то высота будет соединять вершину пирамиды с центром окружности, в которую вписан многоугольник основания. Все вершины многоугольника лежат на такой окружности. При этом данный отрезок будет перпендикуляром к плоскости основания пирамиды . Описать окружность вокруг четырёхугольника можно, если сумма противоположных углов равна 180о. Тогда центр такой окружности будет лежать на пересечении диагоналей соответствующих – квадрата и прямоугольника.

Видео по теме

Обратите внимание

Не каждый отрезок, соединяющий вершину пирамиды с точкой на её основании, является высотой, а только перпендикуляр к основанию. Высоту пирамиды можно перепутать с апофемой, которая является высотой боковой грани пирамиды. Правильной можно назвать пирамиду только при выполнении определённых условий. Так в её основании должен лежать правильный многоугольник, боковые рёбра пирамиды должны быть равны, а все боковые грани должны представлять собой равнобедренные треугольники. Это имеет принципиальное значение для построения высоты пирамиды.

Полезный совет

Если в задаче говорится о правильной пирамиде, то в основании её лежит правильный многоугольник. Тогда высота падает из вершины пирамиды в центр основания. Иногда в формулировках задач требуется построить высоту тетраэдра, пятигранника. Это означает, что в основании пирамиды лежат, соответственно, многоугольники с четырьмя или пятью углами.

Форму многогранников, в том числе, и пирамиды, имеют многие реальные объекты, например, знаменитые пирамиды Египта. Данная геометрическая фигура имеет несколько параметров, основным из которых является высота.

Инструкция

Определите, является ли , высоту которой вам необходимо найти по условиям задачи, правильной. Таковой считается пирамида, у которой основанием является любой правильный многоугольник (имеющий равные стороны), а высота падает в центр основания.

Первый случай возникает, если в основании квадрат. Проведите высоту , перпендикулярную плоскости основания. В результате этого, внутри пирамиды получится прямоугольный треугольник. Его гипотенуза является ребром пирамиды, а больший катет - ее высотой. Меньший катет этого треугольника проходит квадрата и численно равен ее половине. Если дан угол между ребром и плоскостью основания пирамиды, а также одна из сторон квадрата, то высоту пирамиды в этом случае найдите, используя квадрата и теорему Пифагора. Катет равен половине диагонали. Поскольку сторона квадрата равна a, и при этом, равна a√2, найдите гипотенузу треугольника следующим образом:x=a√2/2cosα

Соответственно, зная гипотенузу и меньший катет треугольника, по теореме Пифагора выведите формулу для нахождения : H=√[(a√2)/2cosα]^2-[(a√2/2)^2]=√=a*tgα/√2, где [(1-cos^2α)/cos^2α =tg^2α]

Если в основании пирамиды имеется правильный треугольник, то ее высота будет образовывать с ребром пирамиды прямоугольный треугольник. Меньший катет проходит через высоту основания. В правильном высота одновременно является и медианой.Из свойств известно, что меньший его катет равен a√3/3. Зная угол между ребром пирамиды и плоскостью основания, найдите гипотенузу (она же является ребром пирамиды). Высоту пирамиды определите по теореме Пифагора:H=√(a√3/3cosα)^2-(a√3/3)^2=a*tgα/√3

У некоторых основанием является пяти- или шестиугольник. Такая пирамида также считается правильной, если все стороны ее основания равны. Так, например, высоту пятиугольника находите следующим образом: h=√5+2√5a/2, где a - сторона пятиугольникаЭтим свойством воспользуйтесь для нахождения ребра пирамиды, а затем и ее высоты. Меньший катет равен половине этой высоты: k=√5+2√5a/4

Соответственно, гипотенузу прямоугольного треугольника найдите следующим образом:k/cosα=√5+2√5a/4cosαДалее, как и в предыдущих случаях, высоту пирамиды найдите по теореме Пифагора:H=√[(√5+2√5a/4cosα)^2-(√5+2√5a/4)^2]

Видео по теме

Апофема - высота боковой грани, проведенная в правильной пирамиде из её вершины. Ее можно найти как в обычной правильной пирамиде, так и усеченной. Рассмотрим оба случая

Инструкция

Правильная пирамида
В ней все боковые ребра равны, боковые грани – равнобедренные равные треугольники, а основание – правильный многоугольник. Т.к. все апофемы правильной равны, то достаточно найти одну в любом треугольнике. Треугольники являются равнобедренными, а – это высота. Высота, проведенная в равнобедренном треугольнике из вершины к основанию, и биссектрисой. Медиана делит сторону пополам, а биссектриса угол на два равных угла. Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины к основанию.

Допустим, известны все стороны равнобедренного треугольника и проведена медиана, которая делит основание на два равных отрезка. Т.к. медиана – это высота, то она является перпендикуляром, т.е. угол между медианой и основанием равен 90 . Значит, получается прямоугольный треугольник. Боковая сторона является гипотенузой, половина основания и высота(медиана) – это катеты. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким способом можно найти высоту.

Пусть известен угол, лежащий напротив основания. И какая-нибудь одна из сторон (либо боковая, либо основание). Биссектриса, проведенная из вершины к основанию, . Поэтому опять получается прямоугольный треугольник. Известен угол и одна из сторон. С помощью синуса, косинуса и можно найти высоту. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, катет- отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс – отношение синуса или противолежащего катета . Подставив известные стороны, вычислите высоту.

Площадь боковой поверхности правильной половине произведения периметра основания на апофему.

Правильная
Боковые грани – правильные трапеции. Боковые ребра равны. Апофема – высота, проведенная в трапеции. Пусть известны два основания и боковое ребро. Из вершины проводятся высоты так, чтобы на большем основании они отсекли прямоугольник. Тогда, если мысленно убрать прямоугольник, останется равнобедренный треугольник, высоту которого можно найти по первому способу. Если известны тупые углы трапеции, то при проведении высоты, необходимо вычесть угол, равный 90 градусов(т.к. высота – это перпендикуляр)из тупого. Тогда станет известен острый угол в треугольнике. Высоту или апофему опять же можно найти по 1 способу.

Источники:

• апофема это

Пирамида – это фигура, у которой есть основание в виде многоугольника и боковые грани со сходящимися вверху вершинами. Границы боковых граней называются ребрами . А как же найти длину ребра пирамиды ?

Инструкция

Найдите граничные точки ребра, длину которого ищете. Пусть это будут точки А и В.

Вычислите нужную длину , используя общую формулу: длина ребра пирамиды равняется корню суммы квадратов разниц соответствующих координат граничных точек. Подставьте цифры ваших координат в формулу и найдите длину ребра пирамиды . Таким же образом найдите длину ребер не правильной пирамиды , но и прямоугольной, и , и произвольной.

Найдите длину с помощью теоремы Пифагора, где сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Получите а2+b2=c2, где а и b – катеты, а с - гипотенуза. Гипотенуза тогда будет равна корню из суммы квадратов катетов.

Найдите длину ребра пирамиды . Сначала поделите длину диагонали пополам. Все полученные данные подставьте значения в формулу Пифагора, описанную выше. Аналогично предыдущему примеру найдите из суммы квадратов высоты пирамиды и половины диагонали.

Источники:

• как найти длину ребра по координатам

Пирамида – геометрическая фигура, имеющая многоугольник в основании и треугольники с одной общей вершиной в качестве боковых граней. Объем пирамиды – ее пространственная количественная характеристика, которая вычисляется по известной формуле.

Инструкция

При «пирамида» на ум приходят величественные египетские великаны, хранители покоя . Древние строители не зря использовали эту геометрическую фигуру. Для них, непредсказуемой пустыни, пирамида была символом постоянства, точности. Углы пирамиды были направлены строго по сторонам света, а вершина устремлялась в небо, символизируя единство земли и неба.

Современных и студентов мало волнует этого геометрического чуда света. Самое важное – это формулы и расчеты, связанные с ней, которые являются основой для решения любой геометрической задачи и, как следствие, хорошей оценки. Итак, объема полной пирамиды равна трети площади основания на высоту:V = 1/3*S*h.

Таким образом, чтобы вычислить объем пирамиды , нужно сначала найти площадь основания, а затем умножить ее на длину высоты. По определению пирамиды ее основанием является многоугольник. По количеству углов пирамида может быть треугольной, и т.д. Площадь любого треугольника вычисляется как полупроизведение основания на высоту, – это произведение основания на высоту.

В случае многоугольника в основании пирамиды задача усложняется. Если многоугольник правильный, т.е. все его стороны равны, то имеет вид:S = (n*a^2)/(4*tg (π/n)), где n – количество сторон, a – длина стороны.

Если многоугольник имеет неправильную форму, то расчет его площади сводится к разбиению на треугольники и квадраты. Вычисляется площадь каждого элемента, а потом суммируется в общую.

Задача нахождения объема упрощается для прямоугольной пирамиды , в которой одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. В этом случае это ребро и есть высота пирамиды . Правильной пирамидой называется фигура с правильным многоугольником в основании и высотой, которая опускается из общей вершины точно в центр основания.

Существует понятие усеченной пирамиды , которая получается из полной пирамиды проведением секущей плоскости параллельно основанию. В этом случае объем определяется на основе площадей двух оснований и высоты:V = 1/3*h*(S_1 + √(S_1*S_2) + S_2).

Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани - треугольники, сходящиеся в общей вершине. Решение задач с пирамидами во многом зависит от вида пирамиды . У прямоугольной пирамиды одно из боковых ребер перпендикулярно основанию, это ребро и есть высота пирамиды .

Инструкция

Если в основании пирамиды лежит квадрат, найдите высоту (она же - ребро пирамиды ) через прямоугольный треугольник. Помните - в стереометрии на рисунках квадрат выглядит как параллелограмм. Например, дана прямоугольная пирамида SABCD с вершиной S, которая проецируется в вершину квадрата B. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Рёбра SA и SC равны между собой AD и DC соответственно.

Если в задаче даны рёбра AB и SA, найдите высоту SB из прямоугольного ΔSAB по теореме Пифагора. Для этого из квадрата SA вычтите квадрат AB. Извлеките корень. Высота SB найдена.

Если не дана сторона квадрата AB, а, например, диагональ, то помните формулу: d=a·√2. Также выражайте сторону квадрата из формул площади, периметра, вписанных и описанных радиусов, если это дано в условии.

Если в задаче дано ребро AB и ∠SAB, используйте тангенс: tg∠SAB=SB/AB. Выразите из формулы высоту , подставьте числовые значения, тем самым найдя SB.

Если дан объём и сторона основания, найдите высоту , выразив её из формулы: V=⅓·S·h. S - площадь основания, то есть AB2; h - высота пирамиды , т. е. SB.

Если в основании пирамиды SABC (S проецируется в В, как в п.2, т. е. SB – высота) лежит треугольник и указаны данные для площади (сторона у треугольника, сторона или сторона и углы у равнобедренного, катеты у прямоугольного), находите высоту из формулы объёма: V=⅓·S·h. Вместо S подставьте формулу площади треугольника в зависимости его вида, затем выразите h.

Если дана апофема SK и угол между SK и KB (∠SKB), используйте функцию синуса. Отношение высоты SB к гипотенузе SK равно sin∠SKB. Выразите высоту и подставьте числовые значения.

Источники:

• Пирамиды
• Правильная пирамида

Пирамида представляет собой многогранник, грани которого являются треугольниками, имеющими общую вершину. Вычисление бокового ребра изучают в школе, на практике часто приходится вспоминать подзабытую формулу.

Инструкция

Пирамида бывает правильной, прямоугольной, усеченной и др. Правильной пирамида называется в том случае, если ее основанием является правильный многоугольник. Тогда центр проецируется на центр многоугольника, а боковые ребра пирамиды равны. В такой пирамиде боковые грани являются одинаковыми треугольниками.

Прямоугольная пирамида называется тогда, когда одно из ее ребер перпендикулярно основанию. Высотой такой пирамиды является именно это ребро . В основе вычислений значений высоты , длин ее боковых ребер лежит всем известная теорема Пифагора.

Для вычисления ребра необходимо провести ее высоту из вершины пирамиды на основание. Далее рассматривать искомое ребро как катет в прямоугольном треугольнике, также используя теорему Пифагора.

Боковое ребро в этом случае вычисляется по формуле b=√ h2+ (a2 sin (180°
) 2. Оно является квадратным из суммы квадратов двух сторон прямоугольного треугольника. Одной стороной пирамиды h, другая сторона – отрезок, соединяющий центр основания правильной пирамиды с вершиной этого основания. В этом случае а – сторона правильного многоугольника основания, n - число его сторон.

Обратите внимание

Описание пирамиды и исследование ее свойств было начато еще в Древней Греции. Сегодня элементы пирамиды, ее свойства и законы построения изучаются в школе на уроках геометрии.

Основными элементами пирамиды являются: боковые грани - треугольники, которые имеют общую вершину; боковые ребра – стороны боковых граней, являющиеся общими; апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины, при условии, что пирамида правильная), вершина пирамиды - точка, где сходятся боковые ребра и т.д.

Источники:

• ребро пирамиды

Совет 10: Как найти объём правильной треугольной пирамиды

Объемная геометрическая фигура, все боковые грани которой имеют треугольную форму и не меньше одной общей вершины, назвается пирамидой. Та грань, которая не примыкает к общей для остальных вершине, называется основанием пирамиды . Если все стороны и углы образующего ее многоугольника одинаковы, объемную фигуру называют правильной. А если этих сторон всего три, пирамиду можно назвать правильной треугольной.

Инструкция

Для правильной пирамиды верна общая для таких многогранников определения объема (V) пространства, заключенного внутри граней фигуры. Она связывает этот параметр с высотой (H) и площадью основания (s). Так как в нашем случае все грани одинаковы, не обязательно знать площадь именно основания - для вычисления объема перемножьте площадь любой грани на высоту, а результат поделите на три части: V = s*H/3.

Если известна полная площадь поверхности (S) пирамиды и ее высота (H), для определения объема (V) используйте формулу предыдущего шага, увеличив в четыре раза : V = S*H/12. Это вытекает из того, что общая площадь фигуры складывается именно из четырех одинаковых по размерам граней.

Впрочем, зная длину ребра (a) правильной треугольной пирамиды , можно рассчитать ее объем (V) без использования высоты или каких-либо других параметров фигуры. Возведите единственную необходимую величину в куб, умножьте на корень из двойки и поделите результат на двенадцать: V = a³*√2/12.

Верно и обратное - знания высоты тетраэдра (H) достаточно для вычисления объема (V). Длину ребра в формуле предыдущего шага можно заменить утроенной высотой, поделенной на квадратный корень из шестерки: V = (3*H/√6)³*√2/12 = 27*√2*H³/(12*(√6)³). Чтобы избавиться от всех этих и степеней замените их десятичной дробью 0,21651: V = H³*0,21651.

Если правильная пирамида в известного радиуса (R), формула вычисления объема (V) может быть записана так: V = 16*√2*R³/(3*(√6)³). Для практических расчетов замените все степенные выражения одной десятичной дробью достаточной точности: V = 0,51320*R³.

Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида - это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида - это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида - многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:

S

h – высота пирамиды

Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания

Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):

Можете на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:

27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

Ответ: 0,25

27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.

Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.

Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:

Высота равна трём.

Ответ: 3

27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):

Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:

Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:

Следовательно:

Таким образом, объём пирамиды равен:

Ответ: 256

27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:

Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):

Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:

Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.

Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:

Ответ: 13

245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:

Таким образом:

Ответ: 27

27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

В данном случае следует воспользоваться следующей формулой

где a - длина стороны правильной треугольной пирамиды.



Предлагаю ознакомиться с решением задачи, где необходимо определить высоту, основываясь на известных показателях, а именно значения стороны и объма.



Высоту правильной треугольной пирамиды (она же тетраэдр) можно вывести из объема, который находится по формуле.

Формула звучит так: объем тетраэдра равен отношению произведения высоты пирамиды и квадрат длин сторон основания пирамиды к произведению 4 и квадратного корня из 3.

Исходя из этой формулу, строим формулу высоты тетраэдра:

Высота тетраэдра равна произведению длины стороны основания и квадратного корня из 2/3

Не могу согласится с приведенными другими авторами формулами. Совершенно не понятно как находить высоту пирамиды используя только одну боковую грань. Неужели размер основания не имеет значения? Должно быть по меньшей мере две переменных. Покажу как решается эта задача на мой взгляд.

В основании у нас правильный треугольник и его центр находится на 2/3 расстояния от любой вершины по медиане (высоте, гипотенузе) (аксиома планиметрии). Следовательно по теореме Пифагора находим длину этой высоты и берем от нее 2/3. Вот рисунок:



На нем МС - искомый катет, ОС нужный нам отрезок. Теперь переходим непосредственно к высоте. Обзовем ее DO. Она опять таки будет являться катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого - боковое ребро пирамиды, а второй катет уже найденный нами отрезок ОС. Опять применяем теорему Пифагора и находим высоту. Рисунок:



Единой формулы нахождения высоты такой пирамиды нет, хотя задача простая. Следует лишь знать длину стороны основания и длину бокового ребра.



Формула - h=а2/3 (ребра пирамиды - это стороны равносторонних треугольников, а высотой получается будет длина ребра пирамиды, умноженная на корень из двух третей).

Формула объема: V = 1/3Sh, из нее выводим формулу для высоты: h=3V/S (V - объем, S - площадь основания, h - высота).

Если знаете объем пирамиды. Находим площадь основания, после чего умножаем объем на три и разделяем на площадь основания, в результате получаем высоту пирамиды.

Насколько я помню это программа обучения 9го класса. Вот только тогда за мной бегало столько парней, что я просто не успевала учить геометрию. Но даже я что-то запомнила, сейчас сформулирую:





Если основанием нашей пирамиды является любой треугольник, то такая пирамида называется треугольной. Если грани пирамиды являются равносторонними треугольниками, то такая пирамида называется правильной.

Высота правильной пирамиды равна длине ребра, перемноженную на корень из 2/3.



Правильную треугольную пирамиду еще называют тетраэдром.

Если в условиях дана площадь тетраэдра S, и его объем, тогда сможете найти высоту пирамиды по формуле: h = 3 х V/S.

Если это сложная задача, к примеру, тетраэдр вписан в сферу, и известен ее радиус, мы легко сможем найти высоту пирамиды по формуле: h = 4 х r/3

У правильной треугольной пирамиды все грани равны. Чтобы узнать высоту такой пирамиды нужно воспользоваться специальной для этого формулой, в которой фигурируют высота ребра, которая обозначается y и 2/3 .